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Comptes Rendus Mathématique
Volume 335, n° 1
pages 23-26 (2002)
Doi : S1631-073X(02)02417-2
accepted : 29 April 2002
Estimées Ck pour les domaines convexes de type fini de Cn
C k estimates for convex domains of finite type in Cn
 

William Alexandre
Université des sciences et technologies de Lille, Laboratoire d'arithmétiques, géométrie, analyse, topologie, UMR CNRS 8524 U.F.R. de mathématiques, Bât M2, 59655 Villeneuve d'Ascq, France 

Note présentée par Jean-Pierre Demailly

Résumé

Pour tout domaine convexe D , relativement compact de Cn, de type fini m et pour tout q entier naturel non nul, nous montrons l'existence d'un opérateur Tq de C0,q(D) vers C0,q−1(D) tel que pour tout kN et pour toute (0,q )-forme f , de régularité C k jusqu'au bord, ∂-fermée, Tqf est de régularité C k +1/m jusqu'au bord et ∂Tqf=f. Diederich, Fischer et Fornaess ont montré l'existence d'un opérateur de résolution du problème du ∂ qui satisfait ces conditions pour k =0. Suivant une méthode initiée par Lieb et Range, nous allons modifier cet opérateur et montrer la régularité C k +1/m . Pour cela, nous utiliserons les outils et résultats spécifiques des convexes de type fini obtenus par McNeal, Diederich, Fischer et Fornaess, mais nous aurons besoin de nouvelles estimées dans la direction normale au bord de D . Pour citer cet article : W. Alexandre, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 23-26.

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Abstract

For all convex domains D of finite type m , relatively compact of Cn and for all qN, we show that there exists a linear operator Tq from C0,q(D) to C0,q−1(D), such that for all kN and all (0,q )-form f , ∂-closed of regularity C k up to the boundary, Tqf is of regularity C k +1/m up to the boundary and ∂Tqf=f. Diederich, Fischer and Fornaess have shown that there exists for k =0 such an operator. We modify this operator, analogously to the method of Lieb and Range, and show the regularity C k +1/m for all k . To do this, we use the specific tools and results of convex domains of finite type shown and used by Diederich, Fischer, Fornaess and McNeal but need to show new estimates for the normal derivative of the defining function of D . To cite this article: W. Alexandre, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 23-26.

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