Nous considérons des problèmes d'évolution comme des équations de diffusion convection ou des équations de Navier-Stokes linéarisées pour lesquelles nous souhaiterions donner une « prédiction » sur un intervalle de temps (T₀,T₀+T) mais les conditions initiales nous sont inconnues. En revanche, nous connaissons des « mesures » de la solution sur l'intervalle de temps (0,T₀). L'approche classique dans l'assimilation de données est de rechercher la valeur initiale au temps 0 et ceci est connu pour être un problème mal posé. Ici nous proposons de rechercher la valeur de l'état au temps T₀ (le temps final des mesures) et nous montrons sur les exemples de base déja mentionnés que ceci est un problème bien posé. Nous donnons un résultat de reconstitution exacte de l'état à l'instant T₀ qui est basé sur l'obtention d'inégalités de Carleman globales puis nous donnons un algorithme d'approximation utilisant des problèmes auxiliaires de contrôle optimal. Pour citer cet article : J.-P. Puel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 161-166.

We consider evolution problems such as diffusion convection equations or linearized Navier-Stokes system that we would like to “predict” on a time interval (T₀,T₀+T) but for which the initial value of the state variable is unknown. However, “measures” of the solutions are known on a time interval (0,T₀). The classical approach in data assimilation is to look for the initial value at time 0 and this is known to be an ill-posed problem. Here we propose to look for the value of the state variable at time T₀ (the final time of the “measures”) and we prove on some basic examples that this is a well-posed problem. We give a result of exact reconstruction of the value at T₀ which is based on global Carleman inequalities and we give an approximation algorithm which uses classical optimal control auxiliary problems. To cite this article: J.-P. Puel, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 161-166.