We prove that every subgroup of finite index in a (topologically) finitely generated profinite group is open. This implies that the topology in such a group is uniquely determined by the group structure. The result follows from a uniformity theorem' about finite groups: given a group word   that defines a locally finite variety and a natural number  , there exists   such that in every finite  -generator group  , each element of the verbal subgroup   is a product of    -values. Similar methods show that in a finite  -generator group, each element of the derived group is a product of   commutators; this implies that the (abstract) derived group in any finitely generated profinite group is closed. To cite this article: N. Nikolov, D. Segal, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

Le résultat principal est que tout sous-groupe d'indice fini dans un groupe profini de type fini est ouvert. Par conséquent, la topologie d'un tel groupe est uniquement déterminée par la structure de groupe sous-jacente. Ce résultat se déduit d'un « théorème d'uniformité » pour les groupes finis : soit   un mot tel que la variété de groupes associée est localement finie, et soit   un entier. Si   est un groupe fini ayant   générateurs, alors chaque élément du sous-groupe verbal   est produit de   valeurs de   dans  . On obtient des résultats analogues pour le sous-groupe dérivé. Pour citer cet article : N. Nikolov, D. Segal, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).