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Asymptotic behavior for doubly degenerate parabolic equations - 01/01/03

Doi : 10.1016/S1631-073X(03)00352-2 

Martial  Agueh

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Résumé

We use mass transportation inequalities to study the asymptotic behavior for a class of doubly degenerate parabolic equations of the form   where   is  , or a bounded domain of   in which case   on  . We investigate the case where the potential   is uniformly  -convex, and the degenerate case where  . In both cases, we establish an exponential decay in relative entropy and in the  -Wasserstein distance of solutions - or self-similar solutions - of (1) to equilibrium, and we give the explicit rates of convergence. In particular, we generalize to all  , the HWI inequalities obtained by Otto and Villani (J. Funct. Anal. 173 (2) (2000) 361-400) when  . This class of PDEs includes the Fokker-Planck, the porous medium, fast diffusion and the parabolic  -Laplacian equations. To cite this article: M. Agueh, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

Résumé

Nous utilisons des inégalités de transport de masse pour étudier le comportement asymptotique des équations paraboliques doublement dégénérées de la forme (1), où   est soit  , ou un domaine borné de   auquel cas   sur  . Nous examinons le cas où le potentiel   est uniformément  -convexe, et le cas dégénéré où  . Dans ces deux cas, nous montrons une décroissance exponentielle de la différence d'entropies et de la distance de Wasserstein - suivant le coût   - des solutions de l'équation et de sa solution stationnaire, et nous précisons les taux de convergence. En particulier, nous généralisons à tous les   les inégalités HWI obtenues dans Otto et Villani (J. Funct. Anal. 173 (2) (2000) 361-400) lorsque  . Cette classe d'équations contient les équations de Fokker-Planck, des milieux poreux et du  -Laplacien. Pour citer cet article : M. Agueh, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

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Vol 337 - N° 5

P. 331-336 - septembre 2003 Retour au numéro
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