Forme normale pour NLS en dimension quelconque - 01/01/03
Dario Bambusi a , Benoît Grébert b 1
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Résumé |
Nous considérons l'équation de Schrödinger non linéaire avec des conditions aux bords périodiques dans . La fonction est analytique dans les deux variables et d'ordre au moins 2 ; le potentiel est dans . Nous démontrons que, sous une hypothèse de non résonances générique pour dans une certaine classe, il existe pour tout entier une transformation canonique qui met l'Hamiltonien sous forme normale de Birkhoff à un reste d'ordre près. La transformation canonique est bien définie dans un petit voisinage de l'origine de tout espace de Sobolev d'ordre assez grand. D'un point de vue dynamique, ceci signifie en particulier que si la donnée initiale est de norme plus petite que , la solution reste plus petite que pour des temps de l'ordre de . De plus, pendant le même laps de temps, la solution reste proche d'un tore de dimension infinie. Pour citer cet article : D. Bambusi, B. Grébert, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).
Abstract |
We consider the nonlinear Schödinger equation with periodic boundary conditions on is analytic and is a potential in . Under a nonresonance condition which is fulfilled for most s we prove that, for any integer there exists a canonical transformation that puts the Hamiltonian in Birkhoff normal form up to a reminder of order . The canonical tranformation is well defined in a neighbourhood of the origin of any Sobolev space of sufficiently high order. From the dynamical point of view this means in particular that if the initial data is smaller than , the solution remains smaller than for all times smaller than . Moreover, for the same times, the solution is close to an infinite dimensional torus. To cite this article: D. Bambusi, B. Grébert, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).
Plan
Vol 337 - N° 6
P. 409-414 - septembre 2003 Retour au numéroBienvenue sur EM-consulte, la référence des professionnels de santé.
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