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Forme normale pour NLS en dimension quelconque - 01/01/03

Doi : 10.1016/S1631-073X(03)00368-6 

Dario  Bambusi a ,  Benoît  Grébert b 1

1  Ce travail a été développé lors de la visite de B.G. à l'Université de Milan avec le support du MIUR sous le projet COFIN2001 « Dinamica dei sistemi classici Hamiltoniani, fondamenti dinamici della meccanica statistica e dinamica dell'interazione radiazione materia ».

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Résumé

Nous considérons l'équation de Schrödinger non linéaire   avec des conditions aux bords périodiques dans  . La fonction   est analytique dans les deux variables et d'ordre au moins 2 ; le potentiel   est dans  . Nous démontrons que, sous une hypothèse de non résonances générique pour   dans une certaine classe, il existe pour tout entier   une transformation canonique qui met l'Hamiltonien sous forme normale de Birkhoff à un reste d'ordre   près. La transformation canonique est bien définie dans un petit voisinage de l'origine de tout espace de Sobolev d'ordre assez grand. D'un point de vue dynamique, ceci signifie en particulier que si la donnée initiale est de norme plus petite que  , la solution reste plus petite que   pour des temps   de l'ordre de  . De plus, pendant le même laps de temps, la solution reste proche d'un tore de dimension infinie. Pour citer cet article : D. Bambusi, B. Grébert, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

Abstract

We consider the nonlinear Schödinger equation   with periodic boundary conditions on   is analytic and   is a potential in  . Under a nonresonance condition which is fulfilled for most  s we prove that, for any integer   there exists a canonical transformation that puts the Hamiltonian in Birkhoff normal form up to a reminder of order  . The canonical tranformation is well defined in a neighbourhood of the origin of any Sobolev space of sufficiently high order. From the dynamical point of view this means in particular that if the initial data is smaller than  , the solution remains smaller than   for all times   smaller than  . Moreover, for the same times, the solution is close to an infinite dimensional torus. To cite this article: D. Bambusi, B. Grébert, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

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Vol 337 - N° 6

P. 409-414 - septembre 2003 Retour au numéro
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