We present a method giving the sharp constants and optimal functions of all the Gagliardo–Nirenberg inequalities involving the  -norm of the gradient. We show that the optimal functions can be explicitly derived from a specific non-linear ordinary differential equation which appears to be linear for a subclass of the Gagliardo–Nirenberg inequalities or when the space dimension reduces to 1. In these cases, we give the explicit expressions of the optimal functions, along with the sharp constants of the corresponding Gagliardo–Nirenberg inequalities. Our method extend to the  -Gagliardo–Nirenberg and  -Nashʼs inequalities, for all  . To cite this article: M. Agueh, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Nous présentons une méthode donnant les constantes et fonctions optimales de toutes les inégalités de Gagliardo–Nirenberg dépendant de la norme   du gradient. Nous montrons que les fonctions optimales se calculent explicitement à partir dʼune équation différentielle ordinaire nonlinéaire, qui devient linéaire pour une sous-classe de ces inégalités ou quand la dimension de lʼespace est réduite a 1. Dans ces cas, nous obtenons explicitement les fonctions et constantes optimales des inégalités de Gagliardo–Nirenberg correspondantes. Notre méthode se généralise aux inégalités de Gagliardo–Nirenberg et de Nash dependant de la norme   du gradient, pour tout  . Pour citer cet article : M. Agueh, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).