Le but de cette Note est de présenter une approche unifiée des approximations de type couche limite pour lʼopérateur de Laplace dans un domaine à bord rugueux périodique. On montre un résultat négatif pour une loi de paroi moyennée du second ordre. Pour contourner la difficulté, on propose de nouvelles lois de parois multi-échelles incluant les oscillations microscopiques sur la frontière fictive. Dans un premier temps, elles sont explicites et sʼexpriment comme des conditions de Dirichlet non-homogènes, ensuite on dérive une loi multi-échelle implicite de type Saffman–Joseph mais à coefficient variable. On établit des ordres de convergence et on montre leur validité numérique. On montre également sur un contre-exemple lʼimpossibilité de construire une loi dʼordre 2 effectif et qui soit moyennée dans les variables rapides. Pour citer cet article : D. Bresch, V. Milisic, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

The purpose of this Note is to present a unifying approach of boundary layer approximations for the Laplace operator in domains with periodic rugous boundaries. We show a negative result for an averaged second-order like wall-law. To circumvent this difficulty, we propose new multi-scale wall-laws that include microscopic oscillations on the fictitious boundary. In a first step they are explicit non-homogeneous Dirichlet conditions, afterwards an implicit multi-scale Saffman–Joseph-like wall-law is derived. We establish theoretical orders of convergence and provide their numerical assessment, as well as a counter-example that demonstrates the impossibility of a real averaged second order wall-law. To cite this article: D. Bresch, V. Milisic, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).