On multiple sum and product sets of finite sets of integers - 01/01/03

Doi : 10.1016/j.crma.2003.08.010

Jean Bourgain ^a , Mei-Chu Chang ^b

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Résumé

Let be a finite set of integers of cardinality . Given a positive integer , denote (resp. ) the set of all sums (resp. products) of elements of . We prove that for all , there exists such that . This answers affirmably questions raised in Erdos and Szemerédi (Stud. Pure Math., 1983, pp. 213-218), Elekes et al. (J. Number Theory 83 (2) (2002) 194-201) and recently, by S. Konjagin (private communication). The method is based on harmonic analysis techniques in the spirit of Chang (Ann. Math. 157 (2003) 939-957) and combinatorics on graphs. To cite this article: J. Bourgain, M.-C. Chang, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

Résumé

Soit un ensemble fini d'entiers et . Pour tout entier positif , denotons (resp. ) l'ensemble de toutes les sommes (resp. produits) de éléments de . On démontre que pour tout , il existe tel que . Ceci répond affirmativement à des questions posées dans Erdos et Szemerédi (Stud. Pure Math., 1983, pp. 213-218), Elekes et al. (J. Number Theory 83 (2) (2002) 194-201) et, récemment, par S. Konjagin (communication privée). La méthode est basée sur des arguments d'analyse harmonique dans l'esprit de Chang (Ann. Math. 157 (2003) 939-957) et de la combinatoire sur des graphes. Pour citer cet article : J. Bourgain, M.-C. Chang, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).