For any positive integer N let   be the group of the Nth roots of unity. In this note we shall study the  -linear relations among the values of multiple polylogarithms evaluated at  . We show that the standard relations considered by Racinet do not provide all the possible relations in the following cases: (i) level  , weight   or 4, and (ii)  ,  , and N is a power of 2 or 3, or N has at least two prime factors. We further find some (presumably all) of the missing relations in (i) by using the octahedral symmetry of  . We also prove some other results when   or   (p prime ≥5) by using the motivic fundamental group of  . To cite this article: J. Zhao, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Soient N un entier positif et   le groupe des racines N-ièmes de lʼunité. Nous étudions les relations  -linéaires entre les valeurs de polylogarithmes multiples évalués en ces racines de lʼunité. Nous montrons que les relations standard considérées par Racinet ne fournissent pas toutes les relations dans les cas suivants : (i)  , poids   ou 4, et (ii)  ,  , et N est une puissance de 2 ou 3, ou N a au moins deux facteurs premiers. Dans le cas (i), nous trouvons des (sans doute, toutes les) relations manquantes à lʼaide de la symétrie octaédrale de  . Utilisant le groupe fondamental motivique de  , nous obtenons des résultats additionnels quand   ou   (p premier ≥5). Pour citer cet article : J. Zhao, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).