If the Riemann curvature tensor associated with a smooth field   of positive-definite symmetric matrices of order   vanishes in a simply-connected open subset  , then   is the metric tensor field of a manifold isometrically immersed in  .

In this Note, we first show how, under a mild smoothness assumption on the boundary of  , this classical result can be extended “up to the boundary”. When   is bounded, we also establish the continuity of the manifold with boundary obtained in this fashion as a function of its metric tensor field, the topologies being those of the Banach spaces  . To cite this article: P.G. Ciarlet, C. Mardare, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004).

Si le tenseur de courbure de Riemann associé à un champ régulier   de matrices symétriques définies positives d'ordre   s'annule sur un ouvert   simplement connexe, alors   est le champ de tenseurs métriques d'une variété plongée isométriquement dans  .

Dans cette Note, on montre d'abord, moyennant une hypothèse peu restrictive sur la régularité de la frontière de  , comment ce résultat classique peut être étendu “jusqu'à la frontière”. Lorsque   est borné, on établit aussi la continuité de la variété à bord ainsi obtenue en fonction de son champ de tenseurs métriques, les topologies étant celles des espaces de Banach  . Pour citer cet article : P.G. Ciarlet, C. Mardare, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004).