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Journal Français d'Ophtalmologie
Volume 33, n° 1
pages 56-71 (janvier 2010)
Doi : 10.1016/j.jfo.2009.11.015
Received : 7 October 2009 ;  accepted : 19 November 2009
Les différentes expressions «polaires» et «non polaires» de la réfraction
Polar and non polar notations of refraction
 

O. Touzeau , T. Gaujoux, E. Costantini, V. Borderie, L. Laroche
Institut de la vision, Inserm, Centre Hospitalier National d’Ophtalmologie des Quinze-Vingts, Paris, France 

Auteur correspondant. Service 5, Centre Hospitalier National d’Ophtalmologie des Quinze-Vingts, 28, rue de Charenton, 75012 Paris, France.

Disponible sur Internet le

Résumé

La réfraction peut être exprimée par 4 écritures polaires différentes correspondant à 4 combinaisons différentes de verres sphériques ou cylindriques. Les expressions polaires conventionnelles (en « cylindre positif » ou « négatif ») utilisent une sphère, un cylindre et un axe. L’axe de l’expression en « cylindre positif » correspond au méridien le plus puissant et habituellement, à l’axe des sabliers des cartes de courbure en topographie, d’où son intérêt pour tous les gestes relaxants (ablation de suture sélective, incision arciforme, etc.). En décrivant la réfraction des 2 méridiens principaux par 2 cylindres sans sphère, l’expression en « double cylindre » permet la prise en compte de la distance verre-œil. L’utilisation d’un cylindre croisé de Jackson et de l’équivalent sphérique a l’avantage de décomposer la réfraction en 2 composantes pures : astigmate et sphérique. Si toutes les expressions polaires décrivent parfaitement la réfraction au niveau individuel, elles ne sont pas adaptées pour les analyses statistiques qui nécessitent l’utilisation d’expressions non polaires. Après doublement de l’axe, le cylindre croisé de Jackson d’axe polaire peut être décomposé en 2 cylindres croisés de Jackson d’axe 0°/90° et 45°/135°, entraînant la disparition des données directionnelles. La réfraction peut être décrite par 3 coordonnées rectangulaires (x, y, z) qui permettent également de représenter le sphéro-cylindre par un point dans un espace dioptrique. Ces 3 variables indépendantes (orthogonales) ont une signification optique concrète puisqu’elles représentent respectivement la composante sphérique, la composante directe/inverse de l’astigmatisme et la composante oblique de l’astigmatisme. Finalement, les expressions non polaires de la réfraction sont intéressantes pour les analyses statistiques et graphiques de la réfraction.

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Summary

Refraction can be expressed by four polar notations which correspond to four different combinations of spherical or cylindrical lenses. Conventional expressions of refraction (plus and minus cylinder notation) are described by sphere, cylinder, and axis. In the plus cylinder notation, the axis visualizes the most powerful meridian. The axis usually corresponds to the bow tie axis in curvature maps. Plus cylinder notation is also valuable for all relaxing procedures (i.e., selective suture ablation, arcuate keratotomy, etc.). In the cross-cylinder notation, two orthogonal cylinders can describe (without the sphere component) the actual refraction of both the principal meridians. This notation must be made before performing the vertex calculation. Using an association of a Jackson cross-cylinder and a spherical equivalent, refraction can be broken down into two pure components: astigmatism and sphere. All polar notations of refraction may perfectly characterize a single refraction but are not suitable for statistical analysis, which requires nonpolar expression. After doubling the axis, a rectangular projection breaks down the Jackson cross-cylinder, which has a polar axis, into two Jackson cross-cylinders on the 0°/90° and 45°/135° axis. This procedure results in the loss of the directional nature of the data. Refraction can be written in a nonpolar notation by three rectangular coordinates (x,y,z), which can also represent the spherocylinder by one point in a dioptric space. These three independent (orthogonal) variables have a concrete optical significance: a spherical component, a direct/inverse (WTR/ATR) component, and an oblique component of the astigmatism. Finally, nonpolar notations are useful for statistical analysis and graphical representation of refraction.

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Mots clés : Réfraction, Coordonnées polaires, Coordonnées rectangulaires, Espace dioptrique

Keywords : Refraction, Polar notation, Cartesian coordinates, Dioptric space


Introduction

Si la détermination des amétropies et la prescription des verres correcteurs se font exclusivement à l’aide des écritures polaires en « cylindre négatif » ou en « cylindre positif », il existe d’autres expressions pour décrire la réfraction. Certaines expressions permettent de mieux visualiser un aspect de l’amétropie auquel on s’intéresse particulièrement ou de favoriser la gestion statistique des données. Nous détaillons ici les principales écritures polaires et non polaires de la réfraction avec leurs avantages respectifs.

Les expressions « polaires » de la réfraction
Généralités sur les expressions polaires

Certaines expressions de la réfraction sont dites «polaires» en raison de leur analogie avec les coordonnées polaires (distance, angulation) qui localisent un point dans un plan [1, 2]. Toutes les expressions « polaires » ont en commun le fait d’utiliser au moins une donnée directionnelle : l’axe du verre cylindrique [2, 3, 4, 5, 6]. Par convention, l’axe est défini en degré selon le sens trigonométrique (sens antihoraire). Les expressions polaires de la réfraction découlent plus ou moins directement des règles de prescription des verres correcteurs. Le cylindre est la plus simple des surfaces toriques avec un seul rayon de courbure situé sur le méridien orthogonal à l’axe du cylindre, c’est-à-dire sur le contraxe [3, 4]. Contrairement au méridien du contraxe, le méridien correspondant à l’axe du cylindre est optiquement inactif puisque son rayon de courbure tend vers l’infini (droite). La formule des dioptres sphériques relie la puissance d’un dioptre et son rayon de courbure [3, 4] :
Puissance(D)=Δindicederéfractionrayondecourbure(mm)

La puissance est nulle quand le rayon de courbure tend vers l’infini. La droite focale à déplacer doit être orthogonale au contraxe, c’est-à-dire qu’elle doit avoir en définitive la même direction que l’axe du cylindre.

Pour n’importe quelle amétropie, il existe 4 façons différentes de repositionner les 2 droites focales du conoïde de Sturm sur la rétine [2, 7]. Chacune de ces 4 combinaisons de verres sphéro-cylindriques correspond à l’une des 4 expressions polaires de la réfraction (Tableau 1, Figure 1, Figure 2). La puissance réfractive d’un sphéro-cylindre varie selon le méridien en décrivant une courbe sinusoïdale sur un cycle de 180°. D’un point de vue mathématique, chacune des expressions de la réfraction (polaire ou non polaire) correspond à une décomposition spécifique de la courbe du sphéro-cylindre en une constante et une ou deux fonctions sinusoïdales [2, 7] (Tableau 1, Figure 3).



Figure 1


Figure 1. 

Visualisation de l’action optique des sphéro-cylindres des 4 expressions polaires de la réfraction.

En optique géométrique, toutes les amétropies peuvent se réduire à 2 droites focales orthogonales qu’il est possible de repositionner sur la rétine à l’aide de verres sphériques et cylindriques adéquats. Les 4 expressions polaires de la réfraction correspondent à 4 combinaisons de verres sphéro-cylindriques susceptibles de repositionner les 2 droites focales sur la rétine. Les expressions en « cylindre positif » et en « cylindre négatif » consistent à fusionner les 2 droites focales en avançant ou en reculant respectivement l’une des 2 droites, l’ensemble étant replacé sur la rétine par une sphère. L’expression en « double cylindre » replace directement les 2 droites focales sur la rétine sans l’utilisation d’une sphère. Avec l’expression en « cylindre croisé de Jackson », les 2 droites focales convergent l’une vers l’autre jusqu’à la fusion. Les 2 droites fusionnées sont replacées sur la rétine par un verre sphérique égal à l’équivalent sphérique.

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Figure 2


Figure 2. 

Action des verres des 4 expressions polaires sur les 2 droites focales.

2A: expression en « cylindre positif », 2B: expression en « cylindre négatif », 2C: expression en « double cylindre », 2D: expression à l’aide d’un cylindre croisé de Jackson.

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Figure 3


Figure 3. 

Fonctions mathématiques composant les différentes expressions de la réfraction.

La courbe de puissance d’un sphéro-cylindre selon le méridien peut se décomposer de 5 manières différentes en utilisant une constante et une ou 2 sinusoïdes ayant un cycle de 180°. Les sinusoïdes des expressions polaires ont l’axe pour phase, contrairement à l’expression non polaire. Les sinusoïdes des cylindres croisés de Jackson sont les seules à être centrées sur l’axe des abscisses.

3A: sphéro-cylindre, 3B: expression en « cylindre positif », 3C: expression en « cylindre négatif », 3D: expression en « double cylindre », 3E: expression à l’aide d’un cylindre croisé de Jackson (Fourier polaire), 3F: expression à l’aide de 2 cylindres croisés de Jackson (Fourier rectangulaire).

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L’expression en «cylindre positif»

L’expression de la réfraction en « cylindre positif » consiste concrètement à utiliser un cylindre convergent pour avancer la droite focale postérieure du conoïde de Sturm vers la droite focale antérieure (Figure 2A).

L’axe d’un « cylindre positif » doit avoir la même direction que la droite focale postérieure, c’est-à-dire la même que celle du méridien le plus puissant [3, 4] (Figure 4). L’axe du cylindre positif correspond au méridien le plus puissant. Le méridien le plus puissant correspond au méridien cornéen antérieur le plus bombé (sauf exception).



Figure 4


Figure 4. 

Action optique d’un cylindre convergent (positif).

Pour corriger un astigmatisme régulier, l’axe d’un cylindre positif doit être placé sur le méridien le plus puissant. Le contraxe du cylindre qui est optiquement actif déplace la droite focale postérieure vers la droite focale antérieure. L’axe du cylindre, le méridien le plus puissant et la droite focale postérieure ont la même direction.

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Mathématiquement, l’expression de l’astigmatisme par un cylindre positif correspond à une fonction sinusoïdale variant de « 0 » à « +cylindre » sur un cycle de 180°, la valeur maximale étant obtenue pour le méridien de l’axe et la valeur minimale pour le méridien orthogonal, c’est-à-dire « axe+90° ». La sphère est représentée par une constante sur toute l’étendue du cycle [2, 7] (Figure 3B)

Les valeurs d’astigmatisme de la topographie cornéenne sont, par convention, indiquées en « cylindre positif » [8]. Les cornées toriques présentent le plus souvent, sur les cartes de courbure (axiale et tangentielle) des topographies Placido, un sablier (« bow tie  ») rouge dont l’axe correspond à l’axe du cylindre positif, du moins pour les asphéricités physiologiques (« prolate  ») [8, 9, 10, 11] (Figure 5A).



Figure 5


Figure 5. 

Exemples cliniques où l’expression en « cylindre positif » de l’astigmatisme est intéressante.

L’axe de l’expression en « cylindre positif » indique le méridien le plus puissant (c’est-à-dire, généralement, le méridien cornéen le plus bombé). Cet axe correspond également à l’axe du sablier de couleur chaude des cartes de courbure de la topographie cornéenne « Placido ». L’expression en « cylindre positif » est particulièrement intéressante chaque fois que l’on doit réaliser un geste cornéen « relaxant ».

5A : Visualisation théorique sur une carte de courbure « axiale » de la position de 2 incisions arciformes susceptibles de corriger un astigmatisme idiopathique direct majeur. Le méridien des incisions correspond à l’axe du cylindre positif (+6D à 95°).

5B : Visualisation simultanée de l’astigmatisme cornéen et des fils de suture d’une kératoplastie transfixiante. Les 4 points séparés résiduels sont susceptibles d’avoir un rôle dans la genèse de l’astigmatisme puisqu’ils sont situés à proximité de l’axe du cylindre positif (+6,2D×91°) : il s’agit du méridien le plus puissant (le plus bombé).

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L’expression en « cylindre positif » est particulièrement adaptée aux situations où l’on s’intéresse au méridien cornéen le plus bombé. C’est le cas des gestes « relaxants » de la chirurgie réfractive cornéenne. Par exemple, les incisions arciformes doivent être effectuées sur l’axe du cylindre positif [12, 13] (Figure 5A). De même, devant un astigmatisme postopératoire important, le fil de suture à ôter en priorité est le fil correspondant à l’axe du cylindre positif (cas des points séparés des kératoplasties) (Figure 5B).

Cette expression est également fréquemment utilisée pour la gestion statistique des données de la réfraction. Les analyses statistiques s’effectuent à l’aide des expressions non polaires [14, 15]. Les formules qui permettent la transformation des expressions non polaires en expressions polaires utilisent le plus souvent une racine carrée, le théorème de Pythagore ou une norme vectorielle. Dans ces cas, le cylindre de l’astigmatisme est donc nécessairement positif (Tableau 2).

L’expression en « cylindre négatif »

L’expression de la réfraction en « cylindre négatif » consiste concrètement à reculer la droite focale antérieure vers la droite focale postérieure à l’aide d’un cylindre concave (puissance négative) [3, 4] (Figure 2B). L’axe du cylindre négatif doit avoir pour direction le méridien le moins puissant (c’est-à-dire, en pratique, le plus plat).

La transformation de l’écriture en « cylindre positif » à l’écriture en « cylindre négatif » s’obtient à l’aide des formules suivantes (Tableau 1) :
Sphère↔Sphère+Cylindre+ Cylindre↔- CylindreAxe↔Axe ± 90°

Mathématiquement, l’expression de l’astigmatisme par un cylindre négatif correspond à une fonction sinusoïdale ayant un cycle de 180°, mais l’amplitude varie ici de « -cylindre » à « 0 » avec la phase associée cette fois à la valeur minimale au lieu de la valeur maximale. La sphère est également représentée par une constante qui a une valeur différente de celle de l’écriture en « cylindre positif » (Figure 3C).

L’axe du cylindre négatif correspond à l’axe du sablier des cartes de courbure Placido uniquement dans les très rares cas de cornées d’asphéricité « oblate  » qui présentent une toricité élevée (Figure 6). L’asphéricité « oblate  » est caractérisée par un aplatissement relatif de l’apex par rapport à la périphérie [11, 16]. Le sablier est donc ici de couleur froide (bleue) par rapport à la périphérie de couleur plus chaude (rouge). L’asphéricité « oblate  » qui n’est pas physiologique est le plus fréquemment observée après chirurgie cornéenne réfractive myopique. En dehors de situations particulières ou de complications, la toricité cornéenne postopératoire est faible ou minime. Les cartes de courbure des cornées opérées de myopie présentent donc le plus souvent une forme centrale « ronde » ou « ovale » [16, 17]. La forme en sablier « oblate  » est exceptionnellement observée.



Figure 6


Figure 6. 

Relation entre l’expression de l’astigmatisme en « cylindre négatif » et la topographie cornéenne.

Les cornées d’asphéricité « oblate  » avec une toricité importante prennent souvent un aspect de sablier bleu sur les cartes de courbure Placido. L’axe du sablier correspond à l’axe de l’astigmatisme exprimé en « cylindre négatif ».

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L’expression en « double cylindre » (ou en « cylindres croisés »)

Les 2 droites focales du conoïde de Sturm peuvent être repositionnées directement sur la rétine à l’aide de 2 cylindres adéquats (Figure 2C). Cette écriture en « double cylindre » ou en « cylindre croisé » présente l’originalité d’exprimer la réfraction en n’utilisant que 2 cylindres, à l’exclusion de toute sphère [18, 19, 20]. Les 2 cylindres ont nécessairement des axes orthogonaux mais peuvent avoir des valeurs et des signes différents.

Mathématiquement, l’écriture en « double cylindre » correspond à 2 sinusoïdes de cycle 180° décalées d’une phase de 90°. Chacune des 2 sinusoïdes a « 0 » pour minimum ou pour maximum. Il n’y a pas de constante (Figure 3D).

Une sphère est optiquement équivalente à 2 cylindres orthogonaux de même signe et de même valeur (Figure 7). Cette propriété permet de transformer facilement les formes conventionnelles de la réfraction (« cylindre positif » et « cylindre négatif ») en l’expression en « double cylindre ». Il suffit de décomposer la sphère en 2 cylindres ayant comme axe les axes et contraxes des expressions conventionnelles de la réfraction (Figure 8) :
Sph↔(Sph)×axeet(Sph)×axe±90°



Figure 7


Figure 7. 

Décomposition d’une sphère en 2 cylindres orthogonaux de même puissance.

Une sphère est optiquement équivalente à 2 cylindres de même puissance placés orthogonalement.

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Figure 8


Figure 8. 

Passage des expressions conventionnelles de la réfraction à l’expression en « double cylindre ».

Une sphère est optiquement équivalente à 2 cylindres orthogonaux de même puissance. La sphère peut être décomposée en 2 cylindres ayant pour axe, l’axe et le contraxe de l’astigmatisme des expressions conventionnelles. En additionnant les 2 cylindres ayant le même axe, on obtient aisément l’expression de la réfraction en « double cylindre ».

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En additionnant ensuite les 2 cylindres de même axe, on obtient le résultat suivant :



Dans 3 situations, les 2 cylindres prennent des valeurs particulières :

-
en cas d’amétropie sphérique pure (sphère), les 2 cylindres sont alors identiques ;
-
en cas d’astigmatisme mixte (c’est-à-dire si la rétine est exactement située au milieu des 2 droites focales), les 2 cylindres ont une valeur opposée et forment alors un cylindre croisé de Jackson ;
-
en cas d’astigmatisme simple (présence d’une des 2 droites focales sur la rétine), il n’y a qu’un seul cylindre, l’autre ayant une valeur nulle.

Contrairement aux autres expressions polaires, les 2 cylindres de l’écriture en double cylindre n’ont pas pour but premier la fusion des 2 droites focales mais le positionnement de ces deux dernières sur la rétine. Les 2 cylindres n’indiquent donc pas ici la magnitude de l’astigmatisme, qui est égale à la différence des 2 cylindres.
Cylindre1−Cylindre2=(Sph+Cyl)−Sph=Cyl=magnitude de l’astigmatisme

En revanche, les 2 cylindres de l’écriture en « double cylindre » apportent une information sur la position des 2 droites focales par rapport à la rétine, contrairement aux cylindres des autres expressions polaires. L’équivalent sphérique est égal à la moitié de la somme des 2 cylindres.
Cylindre1+Cylindre22=(Sph+Cyl)+Sph2=Sph+Cyl2=équivalentsphérique

L’expression en « double cylindre » a pour principal intérêt d’analyser simultanément l’état réfractif des 2 méridiens principaux [18, 19, 20].

Ainsi, devant une variation de la réfraction, il peut être intéressant d’analyser séparément le comportement de chacun des 2 méridiens principaux. L’évolution est-elle similaire pour les 2 méridiens ? Le changement réfractif est-il lié à un seul méridien ? Dans ce cas, quel est le méridien responsable du changement réfractif ?

Voici un exemple théorique de réfraction avant et après incision arciforme sur un astigmatisme majeur (post-kératoplastie transfixiante) :
Avantincision: −5(+8)×80°↔(+3)×80°et(−5)×170°Aprèsincision: −3(+4)×80°↔(+1)×80°et(−3)×170°

La variation réfractive d’un des méridiens est ici associée à une variation réfractive opposée du méridien orthogonal. Les 2 méridiens principaux sont donc ici responsables du changement réfractif de façon similaire (d’où un équivalent sphérique inchangé). Cet « effet de couple » de 1/1 s’explique ici par les propriétés biomécaniques de la cornée : l’aplatissement du méridien cambré par les incisions arciformes est compensé par un bombement orthogonal du méridien le plus plat [12, 13]. Compte tenu du poids dans la réfraction de la face antérieure de la cornée et du fait que cette dernière constitue la cible privilégiée de la majorité des gestes réfractifs, l’effet de couple s’analyse le plus souvent à l’aide des kératométries et non à l’aide de l’expression en « double cylindre » de la réfraction. Il faut rappeler ici qu’en toute rigueur, une variation d’astigmatisme ne peut être évaluée par la soustraction des cylindres que si l’axe de l’astigmatisme demeure inchangé. En cas de changement d’axe, il faut utiliser une méthode dite « vectorielle » pour calculer la variation d’astigmatisme [2, 21, 22].

L’expression de la réfraction en « double cylindre » permet de prendre en compte la distance verre-œil [18, 19, 20]. L’effet optique d’un verre correcteur est influencé par la distance avec la cornée. La puissance effective au niveau du vertex cornéen n’est pas la puissance réelle du verre. En pratique, la différence de puissance est négligeable ou faible (<0,25D) pour les amétropies jusqu’à ±5 dioptries. En cas d’amétropie forte, les contactologues qui s’intéressent à la réfraction au niveau cornéen corrigent à l’aide d’abaques les données de la réfraction subjectives obtenues à l’aide de lunettes d’essai ou d’un réfracteur. Pour les études comportant des analyses statistiques sur la réfraction, il est souhaitable de corriger les données réfractives en tenant compte de la distance verre-œil à l’aide de la formule suivante [18, 19, 20] :
Réfractioncornée=1000×Réfractionlunettes1000−(Réfractionlunettes×Distanceenmm)

La distance verre-œil dépend de l’anatomie de la face ainsi que du type de monture et de l’agencement des verres. La distance habituellement utilisée est de 12 mm pour les lunettes d’essai. La distance verre-œil est plus grande dans le cas d’un réfracteur (de l’ordre de 13,5 ou 14 mm) [20]. La formule doit impérativement être appliquée séparément pour chacun des 2 méridiens principaux, d’où la nécessité d’exprimer au préalable la réfraction à l’aide de l’écriture en « double cylindre » [18, 19, 20]. En effet, seuls les 2 cylindres de l’expression en « double cylindre » quantifient la puissance réfractive du sphéro-cylindre des 2 méridiens principaux. Le cylindre des expressions conventionnelles (en « cylindre positif » ou « négatif ») ne quantifie que la différence de puissance du sphéro-cylindre entre ces 2 méridiens principaux.

Exemple numérique :
−6(+2)×90°ou−4(−2)×0°↔(−4)×90°et(−6)×0° (réfractionlunettes)−4D→1000×(−4)1000−(−4×12)≈−3,82D−6D→1000×(−6)1000−(−6×12)≈−5,60D

(−3,82)×90° et (−5,60)×0° ↔ −5,60 (+1,78)×90° ou −3,82 (−1,78)× 0° (réfraction « cornée »)

L’application de la formule à la sphère et au cylindre des expressions conventionnelles de la réfraction (« cylindre positif » ou « cylindre négatif ») aboutirait à un résultat erroné qui serait d’ailleurs différent selon la convention de signe retenue pour le cylindre [18, 19].

Exemple d’application erronée de la formule :

Formulation en « cylindre positif » :
(−6) →  1000× (−6)1000−((−6) ×12))≈−5,60 D(+2) →  1000× (+2)1000−((+2) ×12))≈+2,05 D

La réfraction corrigée est : −5,60 (+2,05)× 90°.

Formulation en « cylindre négatif » :
(−10) →  1000×(−4)1000−((−4)×12))≈−3,82D(−2) →  1000×(−2)1000−((−2) ×12))≈−1,95D

Ici, la réfraction corrigée est : −3,82 (−1,95)× 0°.

On note aisément que les 2 calculs aboutissent à des résultats optiquement différents :
−5,60(+2,05)×90°≠−3,82(−1,95)×0°

L’application inappropriée de la formule de correction a rendu différentes les 2 formulations de la réfraction « cylindre positif » et « cylindre négatif », qui étaient pourtant initialement optiquement équivalentes.

Les données réfractives des réfractomètres automatiques doivent également être corrigées par la distance verre-œil. Sur certains appareils, il est possible de choisir ou non la prise en compte de cette distance (réglage en position « lentille » ou « lunettes »). Les données issues de la kératométrie ou de la vidéokératoscopie qui sont directement mesurées dans le plan de l’apex cornéen ne doivent pas être modifiées par la distance verre-œil.

L’expression à l’aide d’un cylindre croisé de Jackson (« Fourier polaire »)

Il est possible d’exprimer l’astigmatisme en utilisant le concept de cylindre croisé de Jackson, c’est-à-dire à l’aide de 2 cylindres de puissance opposée placés orthogonalement [1, 7, 23] (Figure 9A). Contrairement à l’expression en « double cylindre », les 2 cylindres ont nécessairement ici la même valeur de puissance avec un signe opposé. Les axes des 2 cylindres composant le cylindre croisé de Jackson correspondent aux 2 axes des expressions conventionnelles (« cylindre positif » et « cylindre négatif »), tandis que la valeur du cylindre doit être égale à la moitié du cylindre de ces expressions. Le cylindre croisé de Jackson a donc pour écriture :
(+Cyl/2)×axe/(−Cyl/2)×axe±90°



Figure 9


Figure 9. 

Description et propriétés d’un cylindre croisé de Jackson.

9A: Description du cylindre croisé de Jackson.

Un cylindre croisé de Jackson est composé de 2 cylindres de même puissance, mais de signe opposé, placés orthogonalement. L’équivalent sphérique nul du cylindre croisé de Jackson explique l’intérêt de ce concept pour exprimer l’astigmatisme.

9B : Action optique d’un cylindre croisé de Jackson.

Un cylindre croisé de Jackson déplace les 2 droites focales d’une même amplitude mais en sens opposé. C’est le seul moyen de corriger l’astigmatisme sans modifier la composante sphérique.

9C : Puissance d’un cylindre croisé de Jackson selon le méridien.

Contrairement aux cylindres « conventionnels », la sinusoïde décrivant la puissance du cylindre croisé de Jackson est centré sur l’axe des abscisses (équivalent sphérique nul) et varie entre les puissances « −cylindre » et « +cylindre ». L’amplitude de la sinusoïde est donc le double de celle d’un cylindre « conventionnel ».

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La principale propriété optique du cylindre croisé de Jackson est d’avoir un équivalent sphérique nul (d’où son utilisation en clinique pour affiner la détermination d’astigmatisme subjectif) [3, 4, 5, 6] (Figure 9B–C). Le fait d’utiliser un cylindre croisé de Jackson pour exprimer l’astigmatisme permet donc d’isoler une composante astigmate pure [2, 23, 24]. Au contraire, les cylindres des expressions conventionnelles (« cylindre positif » et « cylindre négatif ») ont une action sur la composante sphérique (équivalent sphérique non nul). On démontre facilement qu’un sphéro-cylindre peut se décomposer en un cylindre croisé de Jackson et un verre sphérique égal à l’équivalent sphérique (Figure 2D) [2, 7] :



Le principal intérêt de cette écriture est de séparer la réfraction en 2 composantes réellement indépendantes : une composante sphérique égale à l’équivalent sphérique et une composante astigmate correspondant à un cylindre croisé de Jackson. La séparation de la réfraction en 2 composantes indépendantes (sphérique et astigmate) a un intérêt évident pour l’exploitation statistique des données, ce qui explique que cette écriture soit le point de départ de la plupart des expressions « non polaires » [1, 7, 23, 24].

La décomposition de la réfraction en un équivalent sphérique et un cylindre croisé de Jackson est appelée « Fourier polaire » (« polar Fourier  ») par Thibos, par analogie à la décomposition d’un signal périodique en séries de Fourier [23, 24]. En effet, un signal périodique quelconque, aussi irrégulier soit-il, peut être décomposé en une constante et une somme de fonctions sinusoïdales (de fréquence, de phase et d’amplitude correctement choisies) [1, 23, 24]. La réfraction peut être assimilée à la somme d’une constante (l’équivalent sphérique) et d’une unique sinusoïde de cycle 180° représentée par le cylindre croisé de Jackson. La sinusoïde a pour amplitude « cylindre/2 » et pour phase « axe » ou « axe+90°» (Figure 3E). Dans le cadre de la réfraction, l’astigmatisme est par définition régulier. Les sinusoïdes ayant une fréquence différente de 180°, comme la composante prismatique (360°) ou l’astigmatisme irrégulier (hautes fréquences <180°), ont par définition une amplitude nulle [2, 23, 24].

Les expressions « non polaires » de la réfraction

À la différence des expressions polaires que nous venons d’évoquer, les expressions non polaires ont pour objectif de décrire la situation réfractive d’un œil sans utiliser un axe spécifique. Les expressions polaires ont l’avantage d’être simples et intuitives puisqu’elles découlent plus ou moins directement des règles de prescription des verres correcteurs [4, 5, 6]. Si les expressions polaires sont parfaites pour décrire la réfraction d’un individu donné, elles ne sont pas adaptées pour analyser les données réfractives d’une population. S’agissant des données directionnelles comme l’axe, il est en effet impossible d’utiliser les statistiques conventionnelles même pour des analyses simples (moyenne, comparaison, corrélation, etc.) [25, 26, 27, 28, 29, 30]. Ainsi, par exemple, la moyenne arithmétique de 2 axes d’astigmatisme « 10° » et « 170° » aboutirait à la valeur aberrante « 90° » sans signification optique [(10+170)/2]. L’analyse statistique des données de la réfraction est difficile. Certes, l’analyse de la composante sphérique à partir des expressions polaires de la réfraction ne pose pas de problème puisqu’il s’agit d’une variable quantitative non directionnelle. Il faut évidemment dans ce cas utiliser l’équivalent sphérique, valeur commune quelle que soit l’expression choisie. On peut également analyser l’astigmatisme à partir du seul cylindre, ce qui implique de réduire l’astigmatisme à une simple variable quantitative non directionnelle. Ce n’est pas satisfaisant car cela conduit à la dissociation du couple « cylindre ↔ axe » et à la perte des données directionnelles (axe). Ainsi, la moyenne des cylindres n’est pas égale au cylindre de l’astigmatisme moyen (sauf si l’axe est identique pour tous les yeux) [2, 7, 25, 26, 27, 28, 29]. De même, il existe une pondération de l’axe par le cylindre. Ainsi, un axe associé à un cylindre de 6D aura plus de poids dans l’axe de l’astigmatisme moyen qu’un axe associé à un cylindre de 0,25D.

Les expressions « non polaires » de la réfraction ont été créées pour supprimer le caractère directionnel des données et permettre des analyses statistiques sans aucune perte d’information. Le principe général consiste à transformer les données « polaires » en données « non polaires », à effectuer les statistiques dans un système « non polaire », et éventuellement à transformer à nouveau le résultat en « données polaires ». Les expressions « non polaires » utilisent divers outils mathématiques (fonctions sinusoïdales, vecteur, coordonnées cartésiennes, matrice, nombres complexes, etc.) [2, 7, 26, 27, 29].

Notion de vecteur d’astigmatisme

Parmi ces différents outils mathématiques, le vecteur a été le premier à être utilisé compte tenu de son analogie évidente avec l’expression polaire de l’astigmatisme. Dès le milieu du 19ème siècle, Stokes a suggéré d’utiliser le cylindre comme norme du vecteur et l’axe comme direction [31]. Cependant, il existe une difficulté car contrairement à un vecteur, l’astigmatisme a une direction mais n’a pas de sens (Figure 10). Si la direction correspond à l’axe de l’astigmatisme (ou méridien), le sens devrait correspondre à l’un des 2 hémi-méridiens du méridien (exemple : le méridien horizontal et les 2 hémi-méridiens « 0° » et « 180° »). Les axes d’astigmatisme « 0° » et « 180° » optiquement identiques correspondent en trigonométrie aux 2 sens opposés d’une même direction. Cette ambiguïté est la conséquence directe du cycle non trigonométrique de l’astigmatisme (180° au lieu de 360°). Pour utiliser les fonctions trigonométriques, il est indispensable que le terme « axe+180° » soit mathématiquement équivalent au terme « axe ». Il n’y a qu’une solution simple pour que ces 2 termes soient égaux : multiplier chacun des 2 termes par 2 (ou un chiffre pair) :
axe+180°≠axemais[axe+180°]×2=[axe×2]+360°=axe×2



Figure 10


Figure 10. 

Analogie entre l’astigmatisme et un vecteur.

Le verre cylindrique peut être assimilé à un vecteur dans un plan. La puissance représente la norme du vecteur et l’axe correspond à la direction. À la différence du vecteur, le verre cylindrique ne possède pas de sens (pas d’hémi-méridiens). Le doublement de l’axe de l’astigmatisme permet de supprimer cette ambiguïté.

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Le doublement de l’axe de l’astigmatisme, initialement proposé par Stokes, a été par la suite adopté par la quasi-totalité des auteurs, que ce soit pour exprimer l’astigmatisme à l’aide d’expressions « non polaires » ou pour le représenter graphiquement [2, 14, 18, 19, 23, 28, 31]. Les axes d’astigmatisme « 10° » et « 170° », graphiquement presque opposés sur le cercle trigonométrique, deviennent voisins après doublement de l’axe (Figure 11). Ceci est plus conforme avec les propriétés optiques. De rares auteurs (comme Naeser) analysent l’astigmatisme sans procéder au doublement de l’axe [32]. Ils utilisent en général des fonctions plus complexes (de type quadratique : Cos2 ou Sin2). Les analyses sont similaires compte tenu de l’existence de relations trigonométriques entre les termes « Cos2⍺ et Sin2⍺ » et les termes « Cos2⍺ et Sin2⍺ » [1, 33].



Figure 11


Figure 11. 

Transformation du cycle d’astigmatisme en un cycle trigonométrique par doublement de l’axe.

Les axes 10° et 170° qui apparaissent artificiellement éloignés d’un point de vue graphique se « rapprochent » après doublement de l’axe (20° et 340°). L’utilisation de fonctions trigonométriques simples impose de doubler l’axe de l’astigmatisme.

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Coordonnées cartésiennes ou rectangulaires

La plus simple des expressions non polaires est l’expression cartésienne de l’astigmatisme qui représente l’extension directe du concept de vecteur d’astigmatisme [2, 7, 18, 19, 20, 26, 34, 35, 36, 37]. Un repère cartésien est placé au centre du cercle trigonométrique. L’écriture polaire de l’astigmatisme (cylindre, axe) est transformée en 2 coordonnées cartésiennes ou rectangulaires (abscisse, ordonnée) par projection sur 2 axes orthonormés (x, y) en appliquant les règles de trigonométrie [2, 7, 18, 19, 20, 26, 37, 38] (Figure 12).



Figure 12


Figure 12. 

Expression de l’astigmatisme par les coordonnées rectangulaires.

L’astigmatisme peut être représenté dans un « plan dioptrique » par un vecteur dont la norme est égale au cylindre et la direction, égale à l’axe multiplié par 2. L’abscisse xA quantifie la composante directe/inverse tandis que l’ordonnée yA quantifie la composante oblique de l’astigmatisme. Les coordonnées rectangulaires (xA , yA ) du point A ou du vecteur OA et le cylindre sont liées par le théorème de Pythagore. L’axe indiqué ici correspond à l’axe de l’expression en « cylindre positif ».

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Les coordonnées cartésiennes (x, y) se calculent à partir des coordonnées polaires, à partir des formules suivantes [2, 26, 28, 29, 30, 37, 38] :
X=Cylindre×Cos(axe×2)Y=Cylindre×Sin(axe×2)

Le passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires s’obtient facilement à partir des règles trigonométriques (Tableau 2).

Le calcul des coordonnées cartésiennes du vecteur d’astigmatisme consiste en fait à décomposer le vecteur d’astigmatisme en 2 vecteurs orthogonaux (Figure 12) :

-
un vecteur horizontal qui a pour direction l’axe des abscisses, c’est-à-dire les axes 0° ↔ 90°. Cette composante correspond aux composantes directe (axe 90° en « cylindre positif ») et inverse (axes 0° ou 180°) de l’astigmatisme, d’où sa dénomination d’« orthoastigmatism  » dans la littérature anglo-saxonne [2, 23, 24] ;
-
un vecteur vertical qui a pour direction l’axe des ordonnées, c’est-à-dire les axes 45°↔135°. Cette composante correspond à la composante oblique de l’astigmatisme.

Bien qu’utilisant des axes (0°/90° et 45°/135°), l’écriture de l’astigmatisme à l’aide des coordonnées cartésiennes est une expression non polaire car les axes utilisés ne sont pas spécifiques d’un œil ou d’un patient. Ces axes sont imposés et ne sont par conséquent pas informatifs. Les données directionnelles ont donc disparu. En revanche, l’axe de l’astigmatisme influence la valeur respective des 2 coordonnées cartésiennes.

Si l’on souhaite analyser ou représenter simultanément la composante sphérique et la composante astigmate, il est indispensable que ces 2 composantes soient indépendantes. L’équivalent sphérique doit être utilisé pour quantifier la composante sphérique de la réfraction. Le cylindre croisé de Jackson doit être préféré au cylindre conventionnel pour exprimer l’astigmatisme. En pratique, il faut multiplier les coordonnées cartésiennes par un facteur « 0,5 ». Les 2 coordonnées cartésiennes (X, Y) correspondent respectivement à un cylindre croisé de Jackson d’axes 0°/90° et à un cylindre croisé de Jackson d’axes 45°/135°, d’où leur fréquente dénomination : « J0  » et « J45  » [23, 24, 37].
X=J0=Cyl2×Cos(axe×2)Y=J45=Cyl2×Sin(axe×2)

Certains auteurs utilisent un facteur multiplicatif de « −0,5 » au lieu de « 0,5 ». Ce choix n’a d’autre conséquence qu’une inversion de la représentation graphique [2, 7]. Si l’on se limite à l’analyse de l’astigmatisme, l’utilisation de ce facteur multiplicatif n’est pas indispensable. La projection rectangulaire du cylindre croisé de Jackson a finalement consisté à décomposer le cylindre croisé de Jackson d’axes polaires (axe/axe±90°) en 2 cylindres croisés de Jackson d’axes 0°/90° (abscisse J0 ) et d’axes 45°/135° (ordonnée J45 ) (Figure 13). On obtient donc en définitive 4 cylindres situés sur 4 méridiens séparés de 45°. D’un point de vue mathématique, la sinusoïde de phase polaire (axe/axe±90°) a été décomposée en 2 sinusoïdes de phase 0°/90° et 45°/135° (Figure 3F). Cette écriture de l’astigmatisme qui utilise 2 cylindres croisés de Jackson est appelée par Thibos « Fourier rectangulaire » (« rectangular Fourier  ») [23, 24, 37].



Figure 13


Figure 13. 

Décomposition d’un cylindre croisé de Jackson d’axes polaires en 2 cylindres croisés de Jackson d’axe 0°/90° et 45°/135°.

En écriture conventionnelle, cet astigmatisme s’écrirait « (+2)×30° » ou « (−2)×120° ». Le cylindre croisé de Jackson d’axe 45°/135° a une amplitude plus grande que celui d’axe 0°/90° car les axes polaires (30° et 120°) sont plus proches de 45° et de 135° que de 0° et 90°. La composante oblique de l’astigmatisme est donc ici plus importante que la composante « directe/inverse ». L’axe de l’astigmatisme n’apparaît plus comme une donnée directionnelle mais influence la valeur respective des 2 cylindres croisés de Jackson.

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Notion d’espace dioptrique tridimensionnel

L’astigmatisme régulier étant parfaitement décrit par 2 paramètres (2 coordonnées : x et y), un plan est suffisant pour le représenter graphiquement par un vecteur ou un point (Figure 12) [2, 38, 39, 40, 41, 42, 43]. La troisième dimension de l’espace peut être utilisée pour représenter la composante sphérique de la réfraction [40, 41]. Le principe consiste à créer un espace à partir de 3 variables quantitatives indépendantes qui définissent les 3 axes orthogonaux du graphique (Figure 14) [2, 39, 40, 41, 42, 43]. En statistique, l’indépendance de 2 variables se traduit le plus souvent graphiquement par leur orthogonalité (exemple : Analyses en Composantes Principales ACP). L’espace doit être homogène et euclidien afin que les notions de distances et d’angles de cet espace aient une signification optique [7, 40, 44, 45]. Les 3 variables utilisées doivent donc posséder certaines propriétés optiques et respecter certaines contraintes mathématiques [44, 45]. La transposition cylindrique (cylindre+↔ cylindre−) ne doit pas influencer les variables [45]. De plus, les variables doivent constituer un sous-espace vectoriel [2, 40, 41, 43].



Figure 14


Figure 14. 

Représentation d’un sphéro-cylindre dans un espace dioptrique.

Chaque sphéro-cylindre est représenté par un point (ou un vecteur) dont les coordonnées cartésiennes (x, y, z) correspondent respectivement aux puissances dioptriques « J0  », « J45  », « équivalent sphérique ». L’origine O (0, 0, 0) représente l’emmétropie. Les yeux présentant une amétropie sphérique pure sont situés sur l’axe Z. Les yeux présentant un astigmatisme mixte (équivalent sphérique nul) sont situés dans le plan de l’astigmatisme. La position des points et les distances ont ici une signification optique car l’espace est homogène. Le point A de coordonnées (+0,50;+0,87;+2,00) représente le sphéro-cylindre « +1 (+2)×30° ». La graduation est ici de 0,50 D.

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L’équivalent sphérique est une variable pertinente pour représenter graphiquement la composante sphérique de l’amétropie. La valeur de l’équivalent sphérique est inchangée quelle que soit l’expression polaire utilisée pour décrire l’astigmatisme (cylindre+ou cylindre−). De plus, l’équivalent sphérique constitue une dimension d’un espace dioptrique dans lequel l’addition et la multiplication sont définies [2, 40, 41]. L’addition de puissances sphériques donne toujours une puissance sphérique. De façon similaire, la moyenne arithmétique de plusieurs puissances sphériques donne une puissance sphérique.

Au contraire, le cylindre n’est pas une variable intéressante pour représenter graphiquement l’astigmatisme dans un espace dioptrique [2, 7, 36]. En effet, l’addition de 2 cylindres purs ne donne pas, en général, un cylindre pur [20, 36]. Une partie de la puissance cylindrique se transforme en puissance sphérique sauf si les 2 cylindres sont parfaitement alignés. Le cas extrême est la situation de 2 cylindres orthogonaux de même puissance qui se « transforment » en une sphère pure (Figure 7). De plus, la valeur du cylindre est influencée par le choix de l’expression polaire de l’astigmatisme (cylindre+ ou cylindre-). En revanche, l’écriture de l’astigmatisme par 2 cylindres croisés de Jackson d’axes imposés 0°/90° et 45°/135° est pertinente pour exprimer l’astigmatisme [24, 39]. Les 2 axes sont orthogonaux et constituent chacun un sous-espace vectoriel. Pour chacune de ces 2 dimensions de l’espace, l’addition de 2 cylindres croisés de Jackson donne un troisième cylindre croisé de Jackson dont la puissance est égale à la somme des 2 cylindres croisés de Jackson [2, 24, 39, 44].

En observant que la puissance réfractive d’un sphéro-cylindre pouvait être décomposée en un équivalent sphérique et en 2 cylindres croisés de Jackson d’axes 0°/90° et 45°/135°, Deal et Toop ont proposé un espace dioptrique tridimensionnel en utilisant comme coordonnées cartésiennes (X, Y, Z) les valeurs de ces 3 composantes [39].
X=J0=Cyl2×Cos(axe×2)Y=J45=Cyl2×Sin(axe×2)Z=équivalentsphérique

Cet espace dioptrique est très intéressant car les 3 variables qui définissent les axes du graphique ont une signification optique concrète (24, 39]. La composante sphérique représentée par l’équivalent sphérique est sur un axe orthogonal par rapport au plan de l’astigmatisme. Cette orthogonalité est logique car elle traduit l’indépendance entre la composante sphérique et la composante astigmate. L’intérêt de cet espace « dioptrique » tridimensionnel est de parfaitement définir chaque sphéro-cylindre par un point unique (x, y, z) [2, 7, 42, 43] (Figure 14). À chaque sphéro-cylindre correspond un point unique dans l’espace ; inversement, à chaque point de l’espace correspond un sphéro-cylindre unique. Cette expression du sphéro-cylindre est séduisante sur le plan graphique et représente une économie importante dans la gestion des données [2, 7, 42, 43]. Pour les analyses statistiques, les 3 coordonnées cartésiennes (x, y, z) de cet espace sont généralement exploitées sous leur forme matricielle : matrice « 3×1 » (x, y, z) [2, 46, 47]. Malgré leurs caractères abstraits, les matrices sont de puissants opérateurs. Ainsi, pour connaître l’effet optique de l’addition de 2 sphéro-cylindres « A » et « B », il suffit d’additionner leurs 2 matrices respectives. On obtient une nouvelle matrice qui correspond à un nouveau sphéro-cylindre « C » [24, 37, 46, 47] :
[x,y,z]C=[x,y,z]A+[x,y,z]B[xC,yC,zC]=[xA,yA,zA]+[xB,yB,zB]=[xA+xB,yA+yB,zA+zB]Exemple numérique d’addition de 2 sphéro-cylindres « A » et « B » :A:+0,50(+2,00)×40°→[+0,17;+0,97;+1,50]B:−1,75(+4,00)×15°→[+1,73;+1,02;+0,25]C:[+0,17;+0,97;+1,50]+[+1,73;+1,02;+0,25]=[+1,91;+1,98;+1,75]

La matrice C peut ensuite être exprimée en écriture polaire pour obtenir le sphéro-cylindre « C » :
[+1,91;+1,98;+1,75]→−1,00(+5,50)×23,1°

Il aurait été beaucoup plus difficile de calculer les caractéristiques du sphéro-cylindre « C » à partir des expressions polaires des 2 sphéro-cylindres « A » et « B ».

Le calcul d’une réfraction moyenne d’un groupe de n observations nécessite de calculer la moyenne arithmétique de chacun des 3 coordonnées (X, Y, ). On exprime ensuite les 3 termes de la matrice moyenne « [X, Y, Z]moyenne  » en écriture polaire (Tableau 2).
X¯=∑Xn; Y¯=∑Yn; Z¯=∑Zn X¯, Y¯ ,Z¯ moyenne↔SphèremoyenneCylindremoyen×axemoyen

Le calcul d’une variation d’astigmatisme se fait de façon similaire en soustrayant la matrice initiale à la matrice finale. La variation de l’astigmatisme est ensuite exprimée en écriture polaire (Tableau 2).
[X,Y,Z]Variation=[X,Y,Z]Final−[X,Y,Z]Initial[X,Y,Z]Variation↔ΔSphère(ΔCylindre)×Δaxe moyen

La décomposition du sphéro-cylindre en un équivalent sphérique et en 2 cylindres croisés de Jackson d’axes respectifs 0°/90° et 45°/135° a montré sa pertinence pour les analyses statistiques et la représentation graphique des données de la réfraction. Cette expression non polaire de la réfraction a été adoptée par une majorité d’auteur (Deal, Toop, Thibos, Raasch, Rabbetts, etc.) en raison de sa simplicité et de la signification optique concrète des 3 axes [24, 38, 39, 42]. Naeser a une approche similaire puisqu’il définit la réfraction à l’aide de 3 variables : l’équivalent sphérique et 2 composantes astigmates séparés de 45° préalablement multipliées par un facteur 0,5 [1/2 KP(90), 1/2 KP(45), Éq Sph] [48, 49].

Les 3 variables (X, Y, Z) qui sont quantitatives, continues et non directionnelles, sont facilement utilisables pour les analyses statistiques (comparaisons de population, corrélation, etc.). Il est possible de réaliser des analyses qui seraient difficiles avec les seules expressions polaires. Il existe de nombreuses autres expressions non polaires susceptibles de décrire la réfraction [2, 7]. À chacune de ces expressions sont associées une écriture matricielle et une représentation graphique spécifiques. Ces expressions sont moins utilisées que celle décrite précédemment (certaines ne sont d’ailleurs employées que par leur auteur). Certaines de ces expressions sont plus complexes (nécessité de 4 variables pour décrire la réfraction au lieu de 3, utilisation d’une matrice 2×2 au lieu d’une matrice 3×1 comme la matrice de Long) [50, 51]. La plupart de ces expressions propose une analyse de la réfraction et une représentation graphique qui semblent moins pertinentes [40, 41]. Souvent, les variables utilisées pour décrire la réfraction n’ont pas une signification optique aussi concrète que les 2 cylindres croisés de Jackson (0°/90°, 45°/135°) et l’équivalent sphérique. Enfin, dans d’autres cas, l’espace dioptrique n’est pas homogène ou n’est pas orthonormé ou encore la norme du sphéro-cylindre n’est pas indépendante de l’axe de l’astigmatisme [40, 41].

Conclusion

Si les expressions polaires conventionnelles de la réfraction en « cylindre négatif » ou en « cylindre positif » sont parfaites pour déterminer et décrire la réfraction au niveau individuel, elles ne sont pas adaptées pour les analyses statistiques de la réfraction. En décrivant simultanément la situation réfractive des 2 méridiens principaux, l’expression en « double cylindre » permet la prise en compte de la distance verre-œil. L’expression de la réfraction avec un cylindre croisé de Jackson et l’équivalent sphérique présente l’avantage d’isoler 2 composantes indépendantes, astigmate et sphérique. L’expression non polaire consiste à exprimer la réfraction par 3 coordonnées cartésiennes (X, Y, Z) dans un espace dioptrique. Les 3 coordonnées égales à 2 cylindres croisés de Jackson d’axes 0°/90° et 45°/135° et un équivalent sphérique représentent respectivement la composante directe/inverse de l’astigmatisme, la composante oblique de l’astigmatisme et la composante sphérique. Le caractère non directionnel des coordonnées cartésiennes favorise l’analyse statistique de la réfraction.

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