This Note gives a counter-example to Kameko’s conjecture, stating an explicit upper bound for the cardinal of a minimal system of generators – as module over the Steenrod’s algebra   – of the polynomial algebra   in k generators (of degree 1) over the field  . The conjecture is true for   (Kameko (1990) [6M. Kameko, Products of projective spaces as Steenrod modules, Ph.D. thesis, Johns Hopkins University, 1990

Cliquez ici pour aller à la section Références]),   (Kameko (2003) [7M. Kameko, Generators of the cohomology of  , preprint, Toyama University, 2003

Cliquez ici pour aller à la section Références] and the author of this Note; Sum (preprint) [15N. Sum, The hit problem for the polynomial algebra of four variables, submitted for publication, available upon request

Cliquez ici pour aller à la section Références]), but false for  . In order to give the counter-example we restrict to some degrees and prove a recurrence relation for the cardinal of a minimal system of generators in these degrees. It results as an easy consequence that the conjecture is false for  .

Cette Note donne un contre-exemple à la conjecture de Kameko. Celle ci donnait une borne supérieure explicite pour le cardinal d’un système minimal de générateurs – comme module sur l’algèbre de Steenrod   – de l’algèbre polynomiale   en k générateurs (de degré 1) sur le corps  . La conjecture est vraie pour   (Kameko, thèse Johns Hopkins University, 1990), récemment démontrée par Kameko, Nam et l’auteur de la Note pour  , qui montre ici qu’elle est fausse pour  . Pour donner ce contre-exemple l’auteur se restreint à certains degrés, et démontre une formule de récurrence pour le cardinal d’un système minimal de générateurs en ces degrés. C’est alors une conséquence facile de cette formule qui montre que la conjecture est fausse si  .