Let  ,  ,   be such that  . We prove that for each map   one can find   and   such that  . This yields a decomposition of u into a part that has a lifting in  ,  , and a map “smoother” than u but without lifting, namely v. Our result generalizes a previous one of Bourgain and Brezis (which corresponds to the case  ,  ). As a consequence, we find an intuitive proof for the existence of the distributional Jacobian Ju of maps   (originally due to Bourgain, Brezis and the author). By completing a result of Bousquet, we characterize the distributions of the form Ju.

Soient  ,  ,   tels que  . Nous montrons que, pour chaque  , il existe   et   tels que  . Ceci donne une décomposition de u comme produit d'un facteur qui se relève dans  ,  , et d'un facteur « plus régulier » que u mais qui ne se relève pas, à savoir v. Notre décomposition généralise un résultat antérieur de Bourgain et Brezis (qui ont traité le cas  ,  ). Une conséquence de notre résultat est une preuve intuitive de l'existence du jacobien au sens des distributions Ju pour les applications   (résultat dû, avec un argument différent, à Bourgain, Brezis et l'auteur). En complétant un résultat de Bousquet, nous caractérisons les distributions de la forme Ju.