On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem - 29/07/10

Doi : 10.1016/j.crma.2010.06.002

Shuang Zhou ^a,^b, Zhuangchu Luo ^a, Changgui Zhang ^b
^a School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan, Hubei, 430072, China
^b Laboratoire Paul-Painlevé, UMR-CNRS 8524, UFR mathématiques pures et appliquées, université des sciences et technologies de Lille (Lille 1), cité scientique, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France

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Abstract

In this Note, we shall consider the heat equation with a singular initial condition , . The aim is to establish relations among three sums of a divergent formal solution to this Cauchy problem: Borel-sum based on known results in Lutz et al. (1999) [4] and two q-Borel sums obtained by means of Heat Kernel and Theta function respectively in Zhang (1999) [8] and in Ramis and Zhang (2002) [7], Zhang (2002) [9]. It is shown that the Borel-sum is equal to q-Borel sum given by the integral expression with Heat Kernel and that the relation between two q-Borel sums gives rise to a natural generalization of Mordell's Theorem.

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Résumé

Dans cette Note, nous considérons l'équation de la chaleur avec une condition initiale singulière , . Le but est d'établir des relations entre trois sommes d'une solution formelle divergente de ce problème de Cauchy : la somme de Borel basée sur des résultats de Lutz et al. (1999) [4] et deux sommes de Borel q-analogues obtenues respectivement au moyen du noyau de la chaleur (Zhang, 1999) [8] et la fonction Theta (Ramis and Zhang, 2002 ; Zhang, 2002) [7, 9]. Nous montrons que la somme de Borel est égale à la somme q-Borel donnée par le noyau de la chaleur et que la relation entre les deux sommes q-Borel donne lieu à une généralisation naturelle d'un théorème de Mordell.