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Isotropic nonarchimedean S-arithmetic groups are not left orderable - 01/01/04

Doi : 10.1016/j.crma.2004.07.015 
Lucy Lifschitz a , Dave Witte Morris b, c,
a Department of Mathematics, University of Oklahoma, Norman, OK 73019, USA 
b Department of Mathematics and Computer Science, University of Lethbridge, Lethbridge, Alberta T1K 3M4, Canada 
c Department of Mathematics, Oklahoma State University, Stillwater, OK 74078, USA 

*Corresponding author.

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Abstract

If   is the ring of S-integers of an algebraic number field F, and   has infinitely many units, we show that no finite-index subgroup of   is left orderable. (Equivalently, these subgroups have no nontrivial orientation-preserving actions on the real line.) This implies that if G is an isotropic F-simple algebraic group over an algebraic number field F, then no nonarchimedean S-arithmetic subgroup of G is left orderable. Our proofs are based on the fact, proved by D. Carter, G. Keller, and E. Paige, that every element of   is a product of a bounded number of elementary matrices. To cite this article: L. Lifschitz, D.W. Morris, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Si   est l'anneau des S-entiers d'un corps de nombres F, et   a une infinité d'unités, nous prouvons qu'aucun sous-groupe d'indice fini de   n'est ordonnable à gauche. (En d'autres termes, les sous-groupes d'indice fini de   ne possèdent pas d'action non triviale sur la droite réelle respectant l'orientation.) Cela implique que si G est un groupe algébrique F-simple isotrope, défini sur un corps de nombres F, alors aucun sous-groupe S-arithmétique non-archimédien de G n'est ordonnable à gauche. La démonstration est fondée sur le fait, dû à D. Carter, G. Keller, et E. Paige, que chaque élément de   est le produit d'un nombre borné de matrices élémentaires. Pour citer cet article : L. Lifschitz, D.W. Morris, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004).

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Vol 339 - N° 6

P. 417-420 - septembre 2004 Retour au numéro
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