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Clark–Ocone type formula for non-semimartingales with finite quadratic variation - 01/02/11

Doi : 10.1016/j.crma.2010.11.032 
Cristina Di Girolami a, b , Francesco Russo b, c
a Luiss Guido Carli – Libera Università Internazionale degli Studi Sociali Guido Carli di Roma, Viale Pola 12, 00198 Roma, Italy 
b ENSTA ParisTech, unité de mathématiques appliquées, 32, boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France 
c INRIA Rocquencourt and Cermics École des ponts, projet MATHFI, domaine de Voluceau, BP 105, 78153 Le Chesnay cedex, France 

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Abstract

We provide a suitable framework for the concept of finite quadratic variation for processes with values in a separable Banach space B using the language of stochastic calculus via regularizations, introduced in the case   by the second author and P. Vallois. To a real continuous process X we associate the Banach-valued process  , called window process, which describes the evolution of X taking into account a memory  . The natural state space for   is the Banach space of continuous functions on  . If X is a real finite quadratic variation process, an appropriated Itô formula is presented, from which we derive a generalized Clark–Ocone formula for non-semimartingales having the same quadratic variation as Brownian motion. The representation is based on solutions of an infinite-dimensional PDE.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous présentons un cadre adéquat pour le concept de variation quadratique finie lorsque le processus de référence est à valeurs dans un espace de Banach séparable B. Le langage utilisé est celui de l'intégrale via régularisations introduit dans le cas réel par le second auteur et P. Vallois. À un processus réel continu X, nous associons le processus  , appelé processus fenêtre, qui à l'instant t, garde en mémoire le passé jusqu'à  . L'espace naturel d'évolution pour   est l'espace de Banach B des fonctions continues définies sur  . Si X est un processus réel à variation quadratique finie, nous énonçons une formule d'Itô appropriée de laquelle nous déduisons une formule de Clark–Ocone relative à des non-semimartingales réelles ayant la même variation quadratique que le mouvement brownien. La représentation est basée sur des solutions d'une EDP infini-dimensionnelle.

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Vol 349 - N° 3-4

P. 209-214 - février 2011 Retour au numéro
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