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Dispersive properties of a viscous numerical scheme for the Schrödinger equation - 01/01/05

Doi : 10.1016/j.crma.2005.02.024 
Liviu I. Ignat , Enrique Zuazua
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma de Madrid, 28049 Madrid, Spain 

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Abstract

In this Note we study the dispersive properties of the numerical approximation schemes for the free Schrödinger equation. We consider finite-difference space semi-discretizations. We first show that the standard conservative scheme does not reproduce at the discrete level the properties of the continuous Schrödinger equation. This is due to spurious high frequency numerical solutions. In order to damp out these high-frequencies and to reflect the properties of the continuous problem we add a suitable extra numerical viscosity term at a convenient scale. We prove that the dispersive properties of this viscous scheme are uniform when the mesh-size tends to zero. Finally we prove the convergence of this viscous numerical scheme for a class of nonlinear Schrödinger equations with nonlinearities that may not be handeled by standard energy methods and that require the so-called Strichartz inequalities. To cite this article: L.I. Ignat, E. Zuazua, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Dans cette Note on étudié les propriétés dispersives des schémas dʼapproximation numérique de lʼéquation de Schrödinger. On considère des approximations semi-discretes en différences finies. Nous démontrons dʼabord que le schéma conservatif habituel ne reproduit pas les propriétés dispersives, uniformement par rapport au pas du maillage. Ceci est du aux hautes fréquences numériques artificielles. On introduit donc un schéma dʼapproximation visqueux dissipant ces hautes fréquences et lʼon montre quʼil possède des propriétés de dispersivité uniformes par rapport au pas du maillage. Nous appliquons ce schéma à lʼapproximation numérique des équations de Schrödinger non-linéaires. On démontre la convergence dans la classe de non-linéarités dont lʼanalyse, au niveau de lʼéquation de Schrödinger continue, a besoin des inegalités de Strichartz. Pour citer cet article : L.I. Ignat, E. Zuazua, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).

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Vol 340 - N° 7

P. 529-534 - avril 2005 Retour au numéro
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