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A (one-dimensional) free Brunn-Minkowski inequality - 01/01/05

Doi : 10.1016/j.crma.2004.12.017 
Michel Ledoux
Institut de mathématiques, université Paul-Sabatier, 31062 Toulouse, France 

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Abstract

We present a one-dimensional version of the functional form of the geometric Brunn-Minkowski inequality in free (non-commutative) probability theory. The proof relies on matrix approximation as used recently by Biane and Hiai et al. to establish free analogues of the logarithmic Sobolev and transportation cost inequalities for strictly convex potentials, that are recovered here from the Brunn-Minkowski inequality as in the classical case. The method is used to extend to the free setting the Otto-Villani theorem stating that the logarithmic Sobolev inequality implies the transportation cost inequality. To cite this article: M. Ledoux, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).

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Résumé

Nous présentons une version uni-dimensionnelle de la forme fonctionnelle de lʼinégalité géométrique de Brunn-Minkowski en théorie des probabilités libres. Lʼargument sʼappuie sur lʼapproximation matricielle déjà mise en œuvre récemment par Biane et Hiai et al. pour établir les analogues libres des inégalités de Sobolev logarithmique et de coût du transport pour des potentiels strictement convexes, qui sont ici déduits de lʼinégalité de Brunn-Minkowski comme dans le cas classique. La méthode permet, de la même façon, dʼétendre au cadre libre le théorème dʼOtto-Villani assurant que lʼinégalité de Sobolev logarithmique entraîne lʼinégalité de transport. Pour citer cet article : M. Ledoux, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).

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Vol 340 - N° 4

P. 301-304 - février 2005 Retour au numéro
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