Une nouvelle majoration pour le nombre de solutions dun système déquations polynomiales - 15/02/08

Doi : 10.1016/j.crma.2007.07.016

Patrice Philippon ^a , Martín Sombra ^b,^{^{1
Financé par le programme Ramón y Cajal du Ministère Espagnol de la Recherche.}}
^a Institut de mathématiques de Jussieu, UMR 7586 du CNRS, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
^b Departament dʼÀlgebra i Geometria, Universitat de Barcelona. Gran Via 585, 08007 Barcelona, Espagne

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Résumé

Un théorème de Kušnirenko et Bernštein montre que le nombre de zéros isolés dans le tore dʼun système de polynômes est majoré par le volume mixte des polytopes de Newton des polynômes donnés, et que cette borne est génériquement exacte. Nous lʼaméliorons néanmoins en introduisant de nouveaux invariants combinatoires des polynômes et une généralisation de la notion de volume mixte : lʼintégrale mixte de fonctions concaves. Pour citer cet article : P. Philippon, M. Sombra, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Abstract

A theorem of Kušnirenko and Bernštein shows that the number of isolated roots in the torus of a system of polynomials is bounded above by the mixed volume of the Newton polytopes of the given polynomials, and that this upper bound is generically exact. We improve on this result by introducing refined combinatorial invariants of polynomials and a generalization of the mixed volume of convex bodies: the mixed integral of concave functions. To cite this article: P. Philippon, M. Sombra, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

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