New compatibility conditions for the fundamental theorem of surface theory - 15/02/08
, Liliana Gratie b , Cristinel Mardare c Bienvenue sur EM-consulte, la référence des professionnels de santé.
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Abstract |
The fundamental theorem of surface theory classically asserts that, if a field of positive-definite symmetric matrices 
of order two and a field of symmetric matrices 
of order two together satisfy the Gauss and Codazzi-Mainardi equations in a connected and simply-connected open subset
of 
, then there exists an immersion 
such that these fields are the first and second fundamental forms of the surface 
and this surface is unique up to proper isometries in 
.
In this Note, we identify new compatibility conditions, expressed again in terms of the functions 
and 
, that likewise lead to a similar existence and uniqueness theorem. These conditions take the form
1A2-2A1+A1A2-A2A1=0in , where 
and 
are antisymmetric matrix fields of order three that are functions of the fields 
and 
, the field 
appearing in particular through its square root. The unknown immersion 
is found in the present approach in function spaces with little regularity', viz., 
, 
. To cite this article: P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).
Résumé |
Le théorème fondamental de la théorie des surfaces affirme classiquement que, si un champ de matrices 
symétriques définies positives dʼordre deux et un champ de matrices 
symétriques dʼordre deux satisfont ensemble les équations de Gauss et Codazzi-Mainardi dans un ouvert 
connexe et simplement connexe, alors il existe une immersion 
telle que ces deux champs soient les première et deuxième formes fondamentales de la surface 
, et cette surface est unique aux isométries propres de 
près.
Dans cette Note, nous identifions de nouvelles conditions de compatibilité, exprimées à nouveau à lʼaide des fonctions 
et 
, qui conduisent aussi à un théorème analogue dʼexistence et dʼunicité. Ces conditions sont de la forme
1A2-2A1+A1A2-A2A1=0 dans , où 
et 
sont des champs de matrices antisymétriques dʼordre trois, qui sont des fonctions des champs 
et 
, le champ 
apparaissant en particulier par lʼintermédiaire de sa racine carrée. Lʼimmersion inconnue 
est trouvée dans cette approche dans des espaces fonctionnelles « de faible régularité », à savoir 
, 
. Pour citer cet article : P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).
Plan
Vol 345 - N° 5
P. 273-278 - septembre 2007 Retour au numéro
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- Canonical semisprays for higher order Lagrange spaces
- Ioan Bucataru
- A Riemann zeta stochastic process
- Werner Ehm
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