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Deux remarques sur les flots généralisés déquations différentielles ordinaires - 15/02/08

Doi : 10.1016/j.crma.2007.05.010 
Maxime Hauray a , Claude Le Bris b, c , Pierre-Louis Lions d, e
a Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université P. & M. Curie, boîte courrier 187, 75252 Paris cedex 05, France 
b CERMICS, École nationale des ponts et chaussées, 77455 Marne-La-Vallée cedex 2, France 
c INRIA Rocquencourt, MICMAC project, B.P. 105, 78153 Le Chesnay cedex, France 
d Collège de France, 11, place Marcelin-Berthelot, 75231 Paris cedex 05, France 
e CEREMADE, Université Paris Dauphine, place de Lattre de Tassigny, 75775 Paris cedex 16, France 

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Résumé

Nous exposons ici deux remarques sur la notion de flot généralisé, introduite par DiPerna et le troisième auteur (R.J. Di Perna, P.L. Lions, Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces, Invent. Math. 98 (3) (1989) 511-547), pour les équations différentielles ordinaires. Dʼune part, nous fournissons une preuve autonome de lʼunicité dʼun tel flot, cʼest-à-dire une preuve ne reposant pas sur lʼinterprétation du flot généralisé en termes de flot pour lʼéquation de transport associée. Dʼautre part, en utilisant cette fois lʼéquation de transport associée, nous généralisons sensiblement la preuve dʼunicité fournie dans lʼarticle cité en nous affranchissant pour le flot de lʼhypothèse de structure de groupe en temps. Pour citer cet article : M. Hauray et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

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Abstract

This Note presents two remarks on the notion of generalized flow solution to ordinary differential equations, as introduced by DiPerna and the third author (R.J. Di Perna, P.L. Lions, Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces, Invent. Math. 98 (3) (1989) 511-547). On the one hand, we provide a self-contained proof of the uniqueness of such a flow. By this, we mean that our new proof does not exploit the interpretation of the generalized flow in terms of flow for the associated linear transport equation. On the other hand, this time using the associated linear transport equation, we slightly extend the result of uniqueness contained in the article cited, proving it holds without the group property of the flow (in the time variable). To cite this article: M. Hauray et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

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Vol 344 - N° 12

P. 759-764 - juin 2007 Retour au numéro
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