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Riemann-Hilbert approach for the Camassa-Holm equation on the line - 15/02/08

Doi : 10.1016/j.crma.2006.10.014 
Anne Boutet de Monvel a , Dmitry Shepelsky b
a Institut de mathématiques de Jussieu, case 7012, université Paris 7, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France 
b Institute for Low Temperature Physics, 47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine 

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Abstract

We present a Riemann-Hilbert problem formalism for the initial value problem for the Camassa-Holm equation   on the line (CH). We show that: (i) for all  , the solution of this problem can be obtained in a parametric form via the solution of some associated Riemann-Hilbert problem; (ii) for large time, it develops into a train of smooth solitons; (iii) for small , this soliton train is close to a train of peakons, which are piecewise smooth solutions of the CH equation for  . To cite this article: A. Boutet de Monvel, D. Shepelsky, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous étudions par la méthode de « Riemann-Hilbert » le problème de Cauchy pour lʼéquation de Camassa-Holm (CH) sur la droite :  . Nous obtenons que : (i) pour tout  , la solution du problème de Cauchy sʼexprime de façon paramétrique en termes de la solution dʼun problème de Riemann-Hilbert associé ; (ii) cette solution a pour asymptotique, pour t grand, un train de solitons lisses ; (iii) pour  , ce train de solitons tend vers un train de « peakons », solutions lisses par morceaux de lʼéquation CH pour  . Pour citer cet article : A. Boutet de Monvel, D. Shepelsky, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

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Vol 343 - N° 10

P. 627-632 - novembre 2006 Retour au numéro
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