Nous montrons que chaque fonction convexe f définie sur la droite réelle ou un intervalle réel peut être approximée dans la norme   par la fonction génératrice des cumulants dʼune mésure non-négative avec une erreur bornée par une constante absolue, qui ne dépend pas de f. Nous fournissons des bornes supérieures et inférieures sur la meilleure de telles constantes, notamment   et  . La déduction de ces bornes est constructive. Nous montrons également que dans le cas multi-dimensionnel lʼerreur de lʼapproximation nʼest pas bornée. Pour citer cet article : R. Hildebrand, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

In this Note we show that any convex function f on the real line or an interval thereof can be approximated in the   norm by the cumulant generating function of a non-negative measure with an error bounded by an absolute constant which does not depend on f. We give upper and lower bounds on the best of such constants, which equal   and  , respectively. The proofs for these bounds are constructive. We also show that the approximation error in the multi-dimensional case is not bounded. To cite this article: R. Hildebrand, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).