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Comptes Rendus Mathématique
Volume 342, n° 11
pages 813-818 (juin 2006)
Doi : 10.1016/j.crma.2006.03.021
Received : 13 June 2005 ;  accepted : 14 Mars 2006
Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux
Galois 2-cohomology of the residually neutral component of connected reductive groups defined over local fields
 

Jean-Claude Douai
Laboratoire Paul-Painlevé CNRS UMR 8524, université des sciences et technologies de Lille, 59665 Villeneuve dʼAscq cedex, France 

Abstract

Soient K un corps complet pour une valuation discrète de corps résiduel parfait k ,   son anneau dʼentiers, G un K -groupe réductif connexe. Bruhat et Tits ont défini la composante résiduellement neutre   de G et calculé le  . Le but de cette Note est de calculer la 2-cohomologie galoisienne de  . Nous complétons ainsi nos résultats où lʼétude était faite dans le cas particulier où   était supposé simplement connexe et k de dimension cohomologique ≤ 1. Nous montrons comment toute classe de 2-cohomologie galoisienne à valeurs dans   se réduit à une classe à valeurs dans un k -tore maximal de la fibre spéciale dʼun  -modèle de G . On en déduit, en particulier, que si G est un K -groupe réductif connexe et si  , alors toute classe de 2-cohomologie galoisienne à valeurs dans la composante résiduellement neutre de G est neutre. Pour citer cet article : J.-C. Douai, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

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Abstract

Let K be a complete discrete valuation field, k its residue field,   its ring of integers, and G a connected reductive K -group. Bruhat and Tits have defined the residually neutral component   of G and have calculated  . The aim of this Note is to calculate the Galois 2-cohomology of  . We extend our results where the case   simply connected and k of cohomological dimension ≤ 1 is treated. We show that each class of Galois 2-cohomology in   reduces to a class into a maximal k -torus of the special fiber of an  -model of G . We deduce, in particular, that, if G is a connected reductive K -group and if  , then each class of Galois 2-cohomology into the residually neutral component is neutral. To cite this article: J.-C. Douai, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

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