Let O be a closed geodesic polygon in  . Maps from O into   are said to satisfy tangent boundary conditions if the edges of O are mapped into the geodesics which contain them. Taking O to be an octant of  , we evaluate the infimum Dirichlet energy,  , for continuous tangent maps of arbitrary homotopy type H. The expression for   involves a topological invariant – the spelling length – associated with the (nonabelian) fundamental group of the n-times punctured two-sphere,  . These results have applications for the theoretical modelling of nematic liquid crystal devices. To cite this article: A. Majumdar et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

Soit O un polygone géodésique fermé de  . On dit qu’une application de O dans   vérifie des conditions aux limites tangentes si elle associe à chaque côté de O la géodésique qui le contient. Dans le cas où O est un octant de  , on calcule l’infimum d’énergie de Dirichlet,  , pour des applications tangentes continues d’un type d’homotopie quelconque H. L’expression de   utilise un invariant topologique, la longueur nominale, lié au groupe fondamentel (non abélien) de la sphère   à n trous ponctuels,  . Les réeultats obtenus ont des applications pratiques, notamment dans la modélisation des systèmes contenant de cristaux liquides nématiques. Pour citer cet article : A. Majumdar et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).