Courbes algébriques ordinaires et tissus associés - 13/06/12
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Résumé |
Soit Γ une courbe algébrique complexe de degré d, intègre et non-dégénérée, dans lʼespace projectif complexe . Notons la dimension de lʼespace vectoriel des polynômes homogènes de degré h en n variables, et lʼentier ⩾1 tel que . Nous appellerons ordinaires les courbes Γ ayant la propriété suivante : lʼensemble des hypersurfaces algébriques dʼun hyperplan « générique » H de , qui sont de degré h et contiennent la section hyperplane , est vide si , et est un espace projectif de dimension égale à si . Pour , ces courbes sont aussi celles dont le tissu associé dans est ordinaire, au sens de Cavalier et Lehmann (2012) [[1]]. Leur genre arithmétique est majoré par le nombre , et cette borne est atteinte pour celles de ces courbes ordinaires qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay. Pour , et tout degré , la famille des courbes ordinaires de degré d qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay est non vide et constitue une composante irréductible du schéma de Hilbert .
Par contraste, les courbes intersections complètes de hypersurfaces algébriques ne sont jamais ordinaires si .
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Let Γ be a complex algebraic curve of degree d, non-degenerate, reduced, and irreducible, in the complex projective space . Denoting by the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h with respect to n variables, let be the integer (⩾1) such that . The curve Γ is said to be ordinary if it has the following property: the set of algebraic hypersurfaces of a “generic” hyperplane H of which have degree h and contain the hyperplane section , is empty if , and is a projective space of dimension if . Equivalently when , the associated web in of such a curve is “ordinary” in the sense of Cavalier and Lehmann (2012) [[1]]. The arithmetic genus of an ordinary curve is upper-bounded by the number , and this bound is reached for these ordinary curves which are arithmetically Cohen–Macaulay. For and any , the family of the ordinary curves of degree d which are arithmetically Cohen–Macaulay is non-empty, and is an irreducible component of the Hilbert scheme .
By contrast, the complete intersection of algebraic hypersurfaces is never ordinary if .
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Vol 350 - N° 9-10
P. 513-518 - mai 2012 Retour au numéroBienvenue sur EM-consulte, la référence des professionnels de santé.
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