Sharp bounds on the rate of convergence of the empirical covariance matrix - 01/02/11
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Abstract |
Let be independent centered random vectors with log-concave distribution and with the identity as covariance matrix. We show that with overwhelming probability one has
supx∈Sn−1|1N∑i=1N(|〈Xi,x〉|2−E|〈Xi,x〉|2)|⩽CnN, where C is an absolute positive constant. This result is valid in a more general framework when the linear forms and the Euclidean norms exhibit uniformly a sub-exponential decay. As a consequence, if A denotes the random matrix with columns , then with overwhelming probability, the extremal singular values and of satisfy the inequalities which is a quantitative version of Bai–Yin theorem (Z.D. Bai, Y.Q. Yin, 1993 [[4]]) known for random matrices with i.i.d. entries.
Résumé |
Soient des vecteurs aléatoires indépendants centrés, de matrice de covariance l'identité et à densité log-concave. On démontre qu'avec une grande probabilité, on a
supx∈Sn−1|1N∑i=1N(|〈Xi,x〉|2−E|〈Xi,x〉|2)|⩽CnN, où est une constante numérique. Ce résultat reste vrai dans le cadre beaucoup plus général où les formes linéaires et les normes euclidiennes vérifient des inégalités de type sous-exponentiel. Il en résulte que si A désigne la matrice dont les colonnes sont , alors avec grande probabilité, les valeurs singulières extrêmes et de vérifient , ce qui est une version quantitative du théorème de Bai–Yin (Z.D. Bai, Y.Q. Yin, 1993 [[4]]) bien connu pour les matrices aléatoires à coefficients i.i.d.
Plan
☆ | The research was conducted while the authors participated in the Thematic Program on Asymptotic Geometric Analysis at the Fields Institute in Toronto in Fall 2010. |
Vol 349 - N° 3-4
P. 195-200 - février 2011 Retour au numéroBienvenue sur EM-consulte, la référence des professionnels de santé.
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