We introduce and analyze curvature bounds   for metric measure spaces  , based on convexity properties of the relative entropy  . For Riemannian manifolds,   if and only if   for all  . We define a complete separable metric   on the family of all isomorphism classes of normalized metric measure spaces. It has a natural interpretation in terms of mass transportation. Our lower curvature bounds are stable under  -convergence. We also prove that the family of normalized metric measure spaces with doubling constant   is closed under  -convergence. Moreover, the subfamily of spaces with diameter   is compact. To cite this article: K.-T. Sturm, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).

Nous introduisons et nous étudions les bornes de la courbure   pour des espaces métriques mesurés  , en utilisant des propriétés de convexité de l'entropie relative  . Pour les variétés riemanniennes,  , si et seulement si   pour tout  . Nous définissons une métrique   complète, séparable sur la famille des classes d'isomorphie d'espaces métriques mesurés, normalisés. Cette métrique a une interprétation naturelle dans le contexte du transport de masse. Nos bornes inférieures de la courbure sont stables pour la  -convergence. Nous démontrons aussi que, pour la  -convergence, la famille des espaces métriques mesurés, normalisés, avec une constante de doublement   est fermée et, de plus, la sous-famille, dont les élements ont un diamètre   est compacte. Pour citer cet article : K.-T. Sturm, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).