In a seminal work in 1934, J. Leray constructed solutions   of the Navier–Stokes equations for arbitrary initial data   and left it open whether   would necessarily tend to zero as  . This question was answered positively fifty years later by T. Kato, using a different approach. Here, we reexamine Leray's problem and solve this and other important related questions using Leray's original ideas and some standard tools (Fourier transform, Duhamel's principle, heat kernel estimates) already in use in his time.

En 1934, J. Leray a construit des solutions faibles   pour les équations de Navier–Stokes avec des données initiales   arbitraires, où il a laissé non résolue la question de savoir si   tendrait toujours vers zéro quand  , à laquelle a été répondu positivement en 1984 par T. Kato, au moyen d'une autre approche. Ici, on reconsidère le problème de Leray et quelques-unes de ses extensions, qui sont résolus en n'employant que des idées développées par Leray en 1934 et des techniques classiques, très utilisées déjà à cette époque.