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Weak convexity does not imply convexity for curves in , n>2 - 04/04/08

Ricardo Uribe-Vargas
Université Paris 7, Équipe géométrie et dynamique, UFR de Math., case 7012, 2, place Jussieu, 75005 Paris, France 

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Note presented by Vladimir Arnol'd

Abstract

A smooth closed curve in RPn is called convex if any hyperplane intersects it in at most n points, taking multiplicities into account. A convex curve has no flattening and its osculating hyperplane intersects it only at the point of osculation. A closed curve in RP2 (in R2) is convex if and only if it has these two properties. Answering a question of V.I. Arnol'd ([2,3] and [4]), we show that, for n>2, these two properties do not imply the convexity of closed curves in RPn. To cite this article: R. Uribe-Vargas, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 47-52.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Une courbe lisse fermée dans RPn est appelée convexe si chaque hyperplan l'intersecte en au plus n points, compte tenu des multiplicités. Une courbe convexe n'a pas d'aplatissement et son hyperplan osculateur ne l'intersecte qu'au point d'osculation. Une courbe fermée dans RP2 est convexe si et seulement si elle a ces deux propriétés. En réponse à une question de V.I. Arnol'd ([2,3] et [4]), nous montrons que pour n>2, ces deux propriétés n'impliquent pas la convexité des courbes fermées dans RPn. Pour citer cet article : R. Uribe-Vargas, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 47-52.

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Vol 335 - N° 1

P. 47-52 - 2002 Retour au numéro
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