Sharp bounds for transition probability densities of a class of diffusions - 04/04/08

Zhongmin Qian ^a , Weian Zheng ^b,^c
^a Laboratoire de statistique et probabilités CNRS, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 4, France
^b Department of Statistics, East China Normal University, Shanghai, China
^c Department of Mathematics, University of California, Irvine, CA 92697, USA

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Note presented by Marc Yor

Abstract

Let p_b(x,t,y) be the transition probability density of the one dimensional diffusion process dXt=dWt+b(Xt)dt, where |b(·)|_∞⩽1. We show that the upper and lower bounds of p_b(x,t,y) are achieved for fixed (x,t,y) when b(z)=sgn(y−z) and b(z)=sgn(z−y) respectively. Moreover, the precise bounds are given. To cite this article: Z. Qian, W. Zheng, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 953-957.

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Résumé

Soit p_b(x,t,y) la densité de la probabilité de transition du processus de diffusion dXt=dWt+b(Xt)dt, où |b(·)|_∞⩽1. Nous montrons que la borne supérieure (resp. la borne inférieure) de p_b(x,t,y) est atteinte pour (x,t,y) fixés quand b(z)=sgn(y−z) (resp. quand b(z)=sgn(z−y)). Les bornes explicites sont présentées. Pour citer cet article : Z. Qian, W. Zheng, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 953-957.