In this Note we prescribe a fourth order curvature – the Q-curvature on the standard n-sphere,  . Under the “flatness condition” of order β,   near each critical point of the prescribed Q-curvature function, we prove new existence result through an Euler–Hopf type formula. Our argument gives a lower bound on the number of conformal metrics having the same Q-curvature.

Dans cette Note nous prescrivons une courbure du quatrième order-la Q-courbure sur la sphère standard de dimension  . Sous une « condition de platitude » d’ordre   au voisinage de chaque point critique de la fonction Q-courbure prescrite, nous prouvons un nouveau résultat d’existence grâce à une formule de type Euler–Hopf. Notre argument donne une minoration du nombre des métriques ayant la même Q-courbure.