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The scaling site - 07/01/16

Doi : 10.1016/j.crma.2015.09.027 
Alain Connes a, b, c , Caterina Consani d, 1
a Collège de France, 3 rue d'Ulm, 75005 Paris, France 
b I.H.E.S., France 
c Ohio State University, USA 
d The Johns Hopkins University, Baltimore, MD 21218, USA 

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Abstract

We investigate the semi-ringed topos obtained from the arithmetic site   of [[3], [4]], by extension of scalars from the smallest Boolean semifield   to the tropical semifield  . The obtained site   is the semi-direct product of the Euclidean half-line and the monoid   of positive integers acting by multiplication. Its points are the same as the points   of   over   and form the quotient of the adele class space of   by the action of the maximal compact subgroup   of the idèle class group. The structure sheaf of the scaling topos endows it with a natural structure of tropical curve over the topos  . The restriction of this structure to the periodic orbits of the scaling flow gives, for each prime p, an analogue   of an elliptic curve whose Jacobian is  . The Riemann–Roch formula holds on   and involves real-valued dimensions and real degrees for divisors.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Le site des fréquences   est obtenu à partir du site arithmétique   de [[3], [4]] par extension des scalaires du semicorps booléen   au semicorps tropical  . C'est le produit semi-direct de la demi-droite euclidienne   par l'action du semi-groupe   des entiers positifs par multiplication. Ses points sont les mêmes que ceux du site arithmétique définis sur   et forment le quotient de l'espace des classes d'adèles de   par l'action du sous-groupe compact maximal du groupe des classes d'idèles. Le faisceau structural du site des fréquences en fait une courbe tropicale dans le topos  . La restriction de cette structure aux orbites périodiques donne, pour chaque nombre premier p, un analogue   d'une courbe elliptique dont la jacobienne est  . La formule de Riemann–Roch pour   fait apparaître des dimensions à valeurs réelles et les degrés des diviseurs sont des nombres réels.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Keywords : Arithmetic site, Scaling site, Adele class space, Topos, Characteristic 1

Mots-clés : Site arithmétique, Site des fréquences, Classes d'adèles, Topos, Caractéristique 1


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Vol 354 - N° 1

P. 1-6 - janvier 2016 Retour au numéro
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