Briand et al. (Electron. Comm. Probab. 5 (2000) 101-117) gave a counterexample and proposition to show that given  -expectations usually do not satisfy Jensen's inequality for most of convex functions. This yields a natural question, under which conditions on   do  -expectations satisfy Jensen's inequality for convex functions? In this paper, we shall deal with this question in the case that   is convex and give a necessary and sufficient condition on   under which Jensen's inequality holds for convex functions. To cite this article: Z. Chen et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

Briand et al. (Electron. Comm. Probab. 5 (2000) 101-117) ont donné un contre-exemple et une proposition qui démontrent que donné  , les  -espérances ne satisfont pas l'inégalité de Jensen pour la majorité des fonctions convexes. Ceci mène donc de façon naturelle à la question : sous quelles conditions sur   les  -espérances satisfont l'inégalité de Jensen pour les fonctions convexes ? Dans cet article, nous obtenons une solution pour un   convexe et donnons une condition nécessaire et suffisante sur   sous laquelle l'inégalité de Jensen est satisfaite pour tout les fonctions convexes. Pour citer cet article : Z. Chen et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).