The purpose of the present paper is to offer a precise definition of the concepts of integration, emergence and complexity in biological networks through the use of the information theory. If two distinct properties of a network are expressed by two discrete variables, the classical subadditivity principle of Shannon's information theory applies when all the nodes of the network are associated with these properties. If not, the subadditivity principle may not apply. This situation is often to be encountered with enzyme and metabolic networks, for some nodes may well not be associated with these two properties. This is precisely what is occurring with an enzyme that binds randomly its two substrates. This situation implies that an enzyme, or a metabolic network, may display a joint entropy equal, smaller, or larger than the corresponding sum of individual entropies of component sub-systems. In the first case, the collective properties of the network can be reduced to the individual properties of its components. Moreover, the network is devoid of any information. In the second case, the system displays integration effects, behaves as a coherent whole, and has positive information. But if the joint entropy of the network is smaller than the sum of the individual entropies of its components, then the system has emergent collective properties and can be considered complex. Moreover, under these conditions, its information is negative. The extent of negative information is enhanced if the enzyme, or the metabolic network, is far away from equilibrium. To cite this article: J. Ricard, C. R. Biologies 326 (2003).

Le but de cet article est de présenter une définition précise des notions d'intégration, d'émergence et de complexité dans les réseaux biologiques, à l'aide de la théorie de l'information. Dans sa forme originelle, toutefois, la théorie de Shannon est une théorie de la communication qui s'établit entre la source et la destination de messages. Une telle théorie doit être modifiée et adaptée pour rendre compte des phénomènes d'intégration et d'émergence apparaissant dans les réseaux biologiques, notamment les réseaux métaboliques. Si deux variables discontinues décrivent deux propriétés d'un réseau à l'état de quasi-équilibre, le principe de sub-additivité, qui est central pour la théorie classique de l'information, s'applique seulement si tous les noeuds du réseau sont associés à ces variables. Or, ces conditions ne sont, en général, pas satisfaites dans le cas des réseaux biologiques, car certains noeuds peuvent n'être associés à aucune, ou à une seule des deux variables. C'est, par exemple, ce qui se passe pour une réaction enzymatique à deux substrats, où la protéine fixe de manière aléatoire chacun de ces deux substrats. Dans le milieu réactionnel coexistent alors des molécules d'enzyme qui ont fixé un substrat, deux substrats, ou aucun substrat. Dans le cas où le principe de sub-additivité n'est pas une condition nécessaire, l'entropie jointe du réseau peut être égale, inférieure ou supérieure à la somme des entropies individuelles des composants du système global. Si l'on se trouve dans le premier de ces trois cas, les propriétés du réseau peuvent être déduites de celles de ses composants, et ce réseau ne possède aucune information. Si l'on se trouve, en revanche, dans le deuxième cas, le système considéré présente un phénomène d'intégration de ses composants en un tout cohérent. Il possède, de plus, une information dont le signe est positif. Si, enfin, le réseau possède une entropie jointe supérieure à la somme des entropies individuelles de ses composants, alors il peut être considéré comme complexe et présente des propriétés émergentes par rapport à celles de ses composants. L'information du réseau possède alors un signe négatif. De nombreuses réactions enzymatiques, ainsi que des réseaux métaboliques, entrent certainement dans ces deux dernières catégories. Si le réseau n'existe pas dans un état de quasi-équilibre, mais dans des conditions d'état stationnaire, c'est-à-dire s'il se comporte comme un système thermodynamique ouvert, alors le flux de matière qui parcourt le système crée des propriétés nouvelles. Si l'on fait évoluer le réseau, de son état initial de quasi-équilibre vers un nouvel état stationnaire, en augmentant la constante catalytique de la réaction, l'information du système devient de plus en plus fortement négative. Cette situation est observée même si, dans l'état initial de quasi-équilibre, le système ne possédait aucune information. L'évolution d'un système enzymatique vers un état de non-équilibre engendre donc la complexité. La notion de complexité est ainsi totalement distincte de celle de complication. Un système apparemment peu compliqué, car formé d'un petit nombre de composants, peut donc posséder un comportement complexe et, réciproquement, un système compliqué peut ne pas posséder un tel comportement. Pour citer cet article : J. Ricard, C. R. Biologies 326 (2003).