L’objet de cette Note est de donner, dans un cadre analytique, un critère infinitésimal pour qu’un espace vectoriel soit localement homogène sous l’action d’un groupe. Dans le cas  , un tel résultat a été démontré par Sergeraert dans sa thèse, en utilisant un théorème d’inversion locale dans les espaces de Fréchet (Sergeraert (1972) [4Sergeraert F. Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 1972 ;  5 : 599-660

Cliquez ici pour aller à la section Références]) (voir également Moser (1966) [3Moser J. A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. I Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 1966 ;  20 : 265-315

Cliquez ici pour aller à la section Références], Zehnder (1976) [5Zehnder E. Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. II Comm. Pure Appl. Math. 1976 ;  29 (1) : 49-111 [cross-ref]

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Notre approche diffère de celle de Sergeraert par l’usage direct de la structure de groupe sous-jacente. En suivant la méthode itérative utilisée par Kolmogorov et Arnold dans leur démonstration du théorème des tores invariants (Kolmogorov (1954) [2Kolmogorov A.N. On conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton’s function Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.) 1954 ;  98 : 527-530

Cliquez ici pour aller à la section Références], Arnold (1963) [1Arnold V.I. Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics Uspekhi Mat. Nauk 1963 ;  18 (6(114)) : 91-192

Cliquez ici pour aller à la section Références]), elle fournit une réponse à l’heuristique donnée par Zehnder (1976) [5Zehnder E. Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. II Comm. Pure Appl. Math. 1976 ;  29 (1) : 49-111 [cross-ref]

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In this Note, we give an infinitesimal criterion, in an analytic setting, for a vector space to be locally homogeneous under some group action. In the   case, such a result was obtained by Sergeraert in his thesis, using an inverse function theorem in Fréchet spaces (Sergeraert (1972) [4Sergeraert F. Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 1972 ;  5 : 599-660

Cliquez ici pour aller à la section Références]) (see also Moser (1966) [3Moser J. A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. I Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 1966 ;  20 : 265-315

Cliquez ici pour aller à la section Références], Zehnder (1976) [5Zehnder E. Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. II Comm. Pure Appl. Math. 1976 ;  29 (1) : 49-111 [cross-ref]

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Our approach differs from that of Sergeraert because we directly use the underlying group structure. By following the iterative method used by Kolmogorov and Arnold in the proof of the invariant tori theorem (Kolmogorov (1954) [2Kolmogorov A.N. On conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton’s function Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.) 1954 ;  98 : 527-530

Cliquez ici pour aller à la section Références], Arnold (1963) [1Arnold V.I. Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics Uspekhi Mat. Nauk 1963 ;  18 (6(114)) : 91-192

Cliquez ici pour aller à la section Références]), it provides an answer to the heuristic question asked by Zehnder (1976) [5Zehnder E. Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. II Comm. Pure Appl. Math. 1976 ;  29 (1) : 49-111 [cross-ref]

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