We establish a local non-existence result for the equation   with Dirichlet boundary conditions on a smooth bounded domain   and initial data in   when the source term f is non-decreasing and   for some exponent  . This allows us to construct a locally Lipschitz f satisfying the Osgood condition  , which ensures global existence for initial data in  , such that for every q with   there is a non-negative initial condition   for which the corresponding semilinear problem has no local-in-time solution (‘immediate blow-up’).

Nous établissons un résultat de non-existence locale pour l'équation   avec des conditions aux limites de Dirichlet sur un domaine borné lisse   et des données initiales dans   lorsque le terme de source f est non décroissant et   pour un exposant  . Ceci nous permet de construire un f localement Lipschitz qui satisfait la condition de Osgood  , ce qui garantit l'existence globale pour des données initiales dans  , de telle sorte que pour chaque q tel que   il existe une condition initiale non négative   pour laquelle le problème semi-linéaire correspondant n'admet pas de solution locale en temps ( « blow-up immédiat »).