This Note deals with an eigenvalue problem that contains a spectral parameter in a boundary condition. The problem for the two-dimensional Laplace equation describes free, time-harmonic water waves in a canal having uniform cross-section and bounded from above by a horizontal free surface. It is shown that there exists a domain for which at least one of eigenfunctions has a nodal line with both ends on the free surface. Since Kuttler essentially used the non-existence of such nodal lines in his proof of simplicity of the fundamental sloshing eigenvalue in the two-dimensional case, we propose a new variational principle for demonstrating this latter fact. To cite this article: V. Kozlov, N. Kuznetsov, C. R. Mecanique 331 (2003).

Cette Note porte sur un problème aux valeurs propres avec le paramètre spectral dans la condition aux limites. Le problème pour l'équation de Laplace bidimensionnelle décrit les ondes de surface libres, harmoniques dans le temps, dans un canal limité supérieurement par une surface libre horizontale. On démontre l'existence d'un domaine tel que au moins une des fonctions propres a une ligne nodale avec les deux extrémités sur la surface libre. Kuttler avait utilisé essentiellement la non - existence de telles lignes nodales dans sa démonstration du caractère simple de la valeur propre de ballottement dans le cas bidimensionnel. Nous proposons donc un nouveau principe variationnel pour prouver ce fait. Pour citer cet article : V. Kozlov, N. Kuznetsov, C. R. Mecanique 331 (2003).