Chemotaxis effect vs. logistic damping on boundedness in the 2-D minimal Keller–Segel model - 25/07/18
Effet chimiotaxique contre amortissement logistique pour borner les solutions du modèle de Keller–Segel minimal en dimension 2
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Abstract |
We study the chemotaxis effect vs. logistic damping on boundedness for the well-known minimal Keller–Segel model with logistic source:
{ut=∇⋅(∇u−χu∇v)+u−μu2,x∈Ω,t>0,vt=Δv−v+u,x∈Ω,t>0 in a smooth bounded domain with , nonnegative initial data , , and homogeneous Neumann boundary data. It is well known that this model allows only for global and uniform-in-time bounded solutions for any . Here, we carefully employ a simple and new method to regain its boundedness, with particular attention to how upper bounds of solutions qualitatively depend on χ and μ. More, precisely, it is shown that there exists such that‖u(⋅,t)‖L∞(Ω)≤C[1+1μ+χK(χ,μ)N(χ,μ)] and‖v(⋅,t)‖W1,∞(Ω)≤C[1+1μ+χ83μK83(χ,μ)]=:CN(χ,μ) uniformly on , whereK(χ,μ)=M(χ,μ)E(χ,μ),M(χ,μ)=1+1μ+χ(1+1μ2) andE(χ,μ)=exp[χCGN22min{1,2χ}(4μ‖u0‖L1(Ω)+132μ2|Ω|+‖∇v0‖L2(Ω)2)]. We notice that these upper bounds are increasing in χ, decreasing in μ, and have only one singularity at , where the corresponding minimal model (removing the term in the first equation) is widely known to possess blow-ups for large initial data.
Résumé |
Nous étudions l'effet chimiotaxique versus l'amortissement logistique pour borner les solutions du modèle de Keller–Segel minimal bien connu avec source logistique :
{ut=∇⋅(∇u−χu∇v)+u−μu2,x∈Ω,t>0,vt=Δv−v+u,x∈Ω,t>0 dans un domaine borné, lisse avec , des données initiales , positives ou nulles et des données au bord de Neumann homogènes. Il est bien connu que ce modèle n'a que des solutions bornées globales et uniformes en temps, pour tout . Nous utilisons ici une méthode nouvelle et simple pour retrouver ces bornes en portant une attention particulière à la dépendance en χ et μ des bornes supérieures des solutions. Plus précisément, nous montrons qu'il existe tel que‖u(⋅,t)‖L∞(Ω)≤C[1+1μ+χK(χ,μ)N(χ,μ)] et‖v(⋅,t)‖W1,∞(Ω)≤C[1+1μ+χ83μK83(χ,μ)]=:CN(χ,μ) uniformément sur , oùK(χ,μ)=M(χ,μ)E(χ,μ),M(χ,μ)=1+1μ+χ(1+1μ2) etE(χ,μ)=exp[χCGN22min{1,2χ}(4μ‖u0‖L1(Ω)+132μ2|Ω|+‖∇v0‖L2(Ω)2)]. Nous observons que ces bornes supérieures croissent avec χ, décroissent avec μ et n'ont qu'une singularité en . Il est bien connu que le modèle minimal correspondant (en ôtant le terme dans la première équation) a des solutions qui explosent pour les grandes données initiales.
Plan
Vol 356 - N° 8
P. 875-885 - août 2018 Retour au numéroBienvenue sur EM-consulte, la référence des professionnels de santé.
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