Existence of multi-solitary waves with logarithmic relative distances for the NLS equation - 04/01/19
Existence d'ondes solitaires multiples avec distances relatives logarithmiques de Schrödinger non linéaires
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| pages | 46 |
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Abstract |
We construct 2-solitary wave solutions with logarithmic distance to the nonlinear Schrödinger equation,
i∂tu+Δu+|u|p−1u=0,t∈R,x∈Rd, in mass-subcritical cases 
and mass-supercritical cases 
, i.e. solutions 
satisfying‖u(t)−eiγ(t)∑k=12Q(⋅−xk(t))‖H1→0 and|x1(t)−x2(t)|∼2logt,ast→+∞, where Q is the ground state. The logarithmic distance is related to strong interactions between solitary waves.
In the integrable case (
and 
), the existence of such solutions is known by inverse scattering (E. Olmedilla, Multiple pole solutions of the nonlinear Schrödinger equation, Physica D 25 (1987) 330–346; T. Zakharov, A.B. Shabat, Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media, Sov. Phys. JETP 34 (1972) 62–69). The mass-critical case 
exhibits a specific behavior related to blow-up, previously studied in Y. Martel, P. Raphaël (Strongly interacting blow up bubbles for the mass critical NLS, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 51 (2018) 701–737).
Résumé |
On construit des solutions au problème de la propagation de deux ondes solitaires avec distance logarithmique de Schrödinger non linéaire,
i∂tu+Δu+|u|p−1u=0,t∈R,x∈Rd, dans le cas d'une masse souscritique et d'une masse surcritique , autrement dit, , qui satisfait‖u(t)−eiγ(t)∑k=12Q(⋅−xk(t))‖H1→0 et|x1(t)−x2(t)|∼2log(t)quandt→+∞, où Q est l'état fondamental. La distance logarithmique est liée à l'interaction forte entre ondes solitaires.
Dans le cas intégrable ( et ), l'existence d'une telle solution est connue par la méthode dite d'inverse scaterring (E. Olmedilla, Multiple pole solutions of the nonlinear Schrödinger equation, Physica D 25 (1987) 330–346 ; T. Zakharov, A.B. Shabat, Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media, Sov. Phys. JETP 34 (1972) 62–69). Le cas d'une masse critique introduit un comportement spécifique lié à l'explosion, qui a été étudié précédemment par Y. Martel et P. Raphaël (Strongly interacting blow up bubbles for the mass critical NLS, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 51 (2018) 701–737).
Plan
Vol 357 - N° 1
P. 13-58 - janvier 2019 Retour au numéro
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