We present a method of the fictitious domain type for the Poisson–Dirichlet problem. The computational mesh is obtained from a background (typically uniform Cartesian) mesh by retaining only the elements intersecting the domain where the problem is posed. The resulting mesh does not thus fit the boundary of the problem domain. Several finite element methods (XFEM, CutFEM) adapted to such meshes have been recently proposed. The originality of the present article consists in avoiding integration over the elements cut by the boundary of the problem domain, while preserving the optimal convergence rates, as confirmed by both the theoretical estimates and the numerical results.

Nous présentons une méthode de type domaine fictif pour le problème de Poisson–Dirichlet. Le maillage de calcul est construit à partir d'un maillage ambiant (typiquement uniforme cartésien) en rejetant les éléments en dehors du domaine dans lequel le problème est posé. Le maillage ainsi obtenu n'est pas ajusté à la frontière du domaine du problème. Plusieurs méthodes d'éléments finis (XFEM, CutFEM) adaptées à ce type de maillages ont été proposées récemment. L'originalité de la méthode que l'on propose ici réside dans le fait que l'on évite l'intégration sur les éléments coupés par la frontière du domaine du problème, tout en préservant le taux de convergence optimal. Cette observation est confirmée par une étude théorique et par des essais numériques.