In this Note, we study the approximate controllability of a cascade system of two 1-d wave equations defined on a star-shaped planar graph. Only the first equation is controlled, with controls applied at the simple vertices. The controls act on the second equation through the coupling at the multiple vertex. We give a necessary and sufficient condition for the approximate controllability of the system: all the ratios of the lengths of any two different edges of the graph should be irrational numbers. The result implies that, under these conditions, the approximate desensitizing controllability of a star-shaped network of strings holds, when the desensitized functional is the  -norm of the displacement of the multiple node.

Dans cette Note, on étudie la contrôlabilité approchée d'un système en cascade de deux équations d'ondes 1d définies sur un graphe planaire en forme d'étoile. Seulement la première équation est contrôlée, avec des contrôles qui agissent sur les sommets simples. Les contrôles agissent sur la deuxième équation à travers le couplage au sommet multiple. On donne une condition nécessaire et suffisante pour la contrôlabilité approchée du système : tous les rapports des longueurs des arêtes doivent être des nombres irrationnels. Le résultat implique que, dans ces conditions, la contrôlabilité désensibilisante approchée d'un réseau a lieu lorsque la fonctionnelle désensibilisée est la norme   du déplacement du nœud multiple.