In this paper, we prove that if  ,   and  ,  , then all problems ((1)), ((2)) admit solutions in the class  , which are in fact  -regular provided there are no pathological solutions to the Euler equation ((5)). Here   is called a pathological solution to equation ((5)) if the equation holds in  ,   as  , and  . We also prove that the lack of pathological solutions to the Euler equation results in the lack of the Lavrentiev phenomenon, see Theorem 9; no growth assumptions from below are required in this result.

Dans cette Note, nous démontrons que si  ,   et  ,  , alors tous les problèmes ((1))–((2)) admettent des solutions dans la classe  , qui sont en fait  -régulières pourvu que l'équation d'Euler ((5)) n'ait pas de solution pathologique. Ici, une solution   de ((5)) est dite pathologique si l'équation est satisfaite dans  ,   lorsque   et  . Nous montrons également (voir Theorem 9), que l'absence de solution pathologique à l'équation d'Euler entraîne l'absence de phénomène de Lavrentiev ; aucune hypothèse de croissance minimale n'est requise pour ce résultat.